第九章平面解析幾何 9 1直線的方程 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 題型分類深度剖析 易錯警示系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 1 直線的傾斜角 1 定義 在平面直角坐標(biāo)系中 對于一條與x軸相交的直線 把x軸所在的直線繞著交點按方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)過的稱為這條直線的傾斜角 當(dāng)直線l與x軸時 規(guī)定它的傾斜角為0 2 范圍 直線l傾斜角的范圍是 逆時針 最小正角 平行或重合 0 180 知識梳理 1 答案 2 斜率公式 1 若直線l的傾斜角 90 則斜率k 2 P1 x1 y1 P2 x2 y2 在直線l上 且x1 x2 則l的斜率k tan 答案 3 直線方程的五種形式 y y1 k x x1 y kx b Ax By C 0 A B不全為0 答案 判斷下面結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置 2 坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率 3 直線的傾斜角越大 其斜率就越大 4 直線的斜率為tan 則其傾斜角為 5 斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等 6 經(jīng)過定點A 0 b 的直線都可以用方程y kx b表示 答案 思考辨析 7 不經(jīng)過原點的直線都可以用表示 8 經(jīng)過任意兩個不同的點P1 x1 y1 P2 x2 y2 的直線都可以用方程 y y1 x2 x1 x x1 y2 y1 表示 答案 1 直線x y a 0的傾斜角為 0 180 60 60 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 如果A C 0 且B C 0 那么直線Ax By C 0不通過第象限 故直線經(jīng)過一 二 四象限 不經(jīng)過第三象限 三 解析答案 1 2 3 4 5 3 過點P 2 3 且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為 解析當(dāng)截距為0時 直線方程為3x 2y 0 所以直線方程為x y 5 0 綜上 直線方程為3x 2y 0或x y 5 0 3x 2y 0或x y 5 0 解析答案 1 2 3 4 5 4 教材改編 若過點A m 4 與點B 1 m 的直線與直線x 2y 4 0平行 則m的值為 m 3 3 解析答案 1 2 3 4 5 5 直線l經(jīng)過A 2 1 B 1 m2 m R 兩點 則直線l的傾斜角的取值范圍為 若l的傾斜角為 則tan 1 解析答案 1 2 3 4 5 返回 題型分類深度剖析 題型一直線的傾斜角與斜率 解析答案 解析直線2xcos y 3 0的斜率k 2cos 解析答案 設(shè)直線的傾斜角為 解析答案 1 若將題 2 中P 1 0 改為P 1 0 其他條件不變 求直線l斜率的取值范圍 引申探究 解析答案 2 將題 2 中的B點坐標(biāo)改為B 2 1 其他條件不變 求直線l傾斜角的范圍 解如圖 直線PA的傾斜角為45 直線PB的傾斜角為135 由圖象知l的傾斜角的范圍為 0 45 135 180 解析答案 思維升華 思維升華 1 cos 1 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 解析答案 解析本題可先作出函數(shù)y 8 2x 2 x 3 的圖象 解析答案 例2根據(jù)所給條件求直線的方程 解由題設(shè)知 該直線的斜率存在 故可采用點斜式 即x 3y 4 0或x 3y 4 0 題型二求直線的方程 解析答案 2 直線過點 3 4 且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12 又直線過點 3 4 故所求直線方程為4x y 16 0或x 3y 9 0 解析答案 3 直線過點 5 10 且到原點的距離為5 解當(dāng)斜率不存在時 所求直線方程為x 5 0 當(dāng)斜率存在時 設(shè)其為k 則所求直線方程為y 10 k x 5 即kx y 10 5k 0 故所求直線方程為3x 4y 25 0 綜上知 所求直線方程為x 5 0或3x 4y 25 0 解析答案 思維升華 思維升華 在求直線方程時 應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式 并注意各種形式的適用條件 用斜截式及點斜式時 直線的斜率必須存在 而兩點式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線 截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點的直線 故在解題時 若采用截距式 應(yīng)注意分類討論 判斷截距是否為零 若采用點斜式 應(yīng)先考慮斜率不存在的情況 求適合下列條件的直線方程 1 經(jīng)過點P 4 1 且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等 跟蹤訓(xùn)練2 解析答案 解設(shè)直線l在x y軸上的截距均為a 若a 0 即l過點 0 0 及 4 1 l過點 4 1 解析答案 a 5 l的方程為x y 5 0 綜上可知 直線l的方程為x 4y 0或x y 5 0 2 經(jīng)過點A 1 3 傾斜角等于直線y 3x的傾斜角的2倍 解由已知 設(shè)直線y 3x的傾斜角為 則所求直線的傾斜角為2 tan 3 又直線經(jīng)過點A 1 3 即3x 4y 15 0 解析答案 命題點1與基本不等式相結(jié)合求最值問題 例3已知直線l過點P 3 2 且與x軸 y軸的正半軸分別交于A B兩點 如圖所示 求 ABO的面積的最小值及此時直線l的方程 題型三直線方程的綜合應(yīng)用 解析答案 從而所求直線方程為2x 3y 12 0 所以 ABO的面積的最小值為12 此時直線l的方程為2x 3y 12 0 解析答案 方法二依題意知 直線l的斜率k存在且k 0 則直線l的方程為y 2 k x 3 k 0 解析答案 即 ABO的面積的最小值為12 故所求直線的方程為2x 3y 12 0 命題點2由直線方程解決參數(shù)問題 例4已知直線l1 ax 2y 2a 4 l2 2x a2y 2a2 4 當(dāng)0 a 2時 直線l1 l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個四邊形 當(dāng)四邊形的面積最小時 求實數(shù)a的值 解由題意知直線l1 l2恒過定點P 2 2 直線l1的縱截距為2 a 直線l2的橫截距為a2 2 解析答案 思維升華 與直線方程有關(guān)問題的常見類型及解題策略 1 求解與直線方程有關(guān)的最值問題 先設(shè)出直線方程 建立目標(biāo)函數(shù) 再利用基本不等式求解最值 2 求直線方程 弄清確定直線的兩個條件 由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程 3 求參數(shù)值或范圍 注意點在直線上 則點的坐標(biāo)適合直線的方程 再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解 思維升華 1 2014 四川 設(shè)m R 過定點A的動直線x my 0和過定點B的動直線mx y m 3 0交于點P x y 則PA PB的最大值是 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 解析 直線x my 0與mx y m 3 0分別過定點A B A 0 0 B 1 3 當(dāng)點P與點A 或B 重合時 PA PB為零 當(dāng)點P與點A B均不重合時 P為直線x my 0與mx y m 3 0的交點 且易知此兩直線垂直 APB為直角三角形 解析答案 AP2 BP2 AB2 10 當(dāng)且僅當(dāng)PA PB時 上式等號成立 答案5 解析答案 返回 易錯警示系列 典例 14分 設(shè)直線l的方程為 a 1 x y 2 a 0 a R 1 若l在兩坐標(biāo)軸上截距相等 求l的方程 易錯分析本題易錯點求直線方程時 漏掉直線過原點的情況 11 求直線方程忽視零截距致誤 易錯警示系列 解析答案 易錯分析 a 0 方程即為x y 2 0 6分 綜上 l的方程為3x y 0或x y 2 0 7分 規(guī)范解答解當(dāng)直線過原點時 該直線在x軸和y軸上的截距為零 a 2 方程即為3x y 0 3分 當(dāng)直線不經(jīng)過原點時 截距存在且均不為0 2 若l不經(jīng)過第二象限 求實數(shù)a的取值范圍 解將l的方程化為y a 1 x a 2 a 1 13分 綜上可知a的取值范圍是a 1 14分 解析答案 溫馨提醒 返回 返回 溫馨提醒 1 在求與截距有關(guān)的直線方程時 注意對直線的截距是否為零進行分類討論 防止忽視截距為零的情形 導(dǎo)致產(chǎn)生漏解 2 常見的與截距問題有關(guān)的易誤點有 截距互為相反數(shù) 一截距是另一截距的幾倍 等 解決此類問題時 要先考慮零截距情形 注意分類討論思想的運用 思想方法感悟提高 直線的傾斜角和斜率的關(guān)系 1 任何直線都存在傾斜角 但并不是任意直線都存在斜率 2 直線的傾斜角 和斜率k之間的對應(yīng)法則 方法與技巧 與直線方程的適用條件 截距 斜率有關(guān)問題的注意點 1 明確直線方程各種形式的適用條件點斜式 斜截式方程適用于不垂直于x軸的直線 兩點式方程不能表示垂直于x y軸的直線 截距式方程不能表示垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線 2 截距不是距離 距離是非負值 而截距可正可負 可為零 在與截距有關(guān)的問題中 要注意討論截距是否為零 3 求直線方程時 若不能斷定直線是否具有斜率時 應(yīng)注意分類討論 即應(yīng)對斜率是否存在加以討論 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 若A m m 3 B 2 m 1 C 1 4 直線AC的斜率等于直線BC的斜率的三倍 則實數(shù)m的值為 解得m 1或m 2 經(jīng)驗證均符合題意 1或2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 如圖中的直線l1 l2 l3的斜率分別為k1 k2 k3 則k1 k2 k3的大小關(guān)系為 解析直線l1的傾斜角 1是鈍角 故k1 0 直線l2與l3的傾斜角 2與 3均為銳角 且 2 3 所以0 k3 k2 因此k1 k3 k2 k1 k3 k2 解析答案 4 斜率為2的直線經(jīng)過 3 5 a 7 1 b 三點 則a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 故a b 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 7 一條直線經(jīng)過點A 2 2 并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1 則此直線的方程為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 2 2 在此直線上 又 直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即x 2y 2 0或2x y 2 0為所求直線的方程 答案x 2y 2 0或2x y 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 若ab 0 且A a 0 B 0 b C 2 2 三點共線 則ab的最小值為 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又C 2 2 在該直線上 所以 2 a b ab 又ab 0 故a 0 b 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即ab的最小值為16 答案16 9 設(shè)直線l m2 2m 3 x 2m2 m 1 y 2m 6 0 m 1 根據(jù)下列條件分別確定m的值 1 直線l在x軸上的截距為 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解 l在x軸上的截距為 3 2m 6 0 即m 3 又m 1 m2 2m 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 直線l的斜率為1 解由題意知2m2 m 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 已知點P 2 1 1 求過點P且與原點的距離為2的直線l的方程 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解過點P的直線l與原點的距離為2 而點P的坐標(biāo)為 2 1 顯然 過點P 2 1 且垂直于x軸的直線滿足條件 此時l的斜率不存在 其方程為x 2 若斜率存在 設(shè)l的方程為y 1 k x 2 即kx y 2k 1 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 此時直線l的方程為3x 4y 10 0 綜上 可得直線l的方程為x 2或3x 4y 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求過點P且與原點的距離最大的直線l的方程 最大距離是多少 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解作圖可得過點P與原點O的距離最大的直線是過點P且與PO垂直的直線 如圖所示 由l OP 得klkOP 1 由直線方程的點斜式 得y 1 2 x 2 即2x y 5 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 若直線ax by ab a 0 b 0 過點 1 1 則該直線在x軸 y軸上的截距之和的最小值為 解析 直線ax by ab a 0 b 0 過點 1 1 當(dāng)且僅當(dāng)a b 2時上式等號成立 直線在x軸 y軸上的截距之和的最小值為4 4 解析答案 12 已知A 3 0 B 0 4 直線AB上一動點P x y 則xy的最大值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 設(shè)點A 1 0 B 1 0 直線2x y b 0與線段AB相交 則b的取值范圍是 解析b為直線y 2x b在y軸上的截距 如圖 當(dāng)直線y 2x b過點A 1 0 和點B 1 0 時 b分別取得最小值和最大值 b的取值范圍是 2 2 2 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解由題意可得kOA tan45 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 已知直線l kx y 1 2k 0 k R 1 證明 直線l過定點 證明直線l的方程是k x 2 1 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 無論k取何值 直線總經(jīng)過定點 2 1 解析答案 2 若直線不經(jīng)過第四象限 求k的取值范圍 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 當(dāng)k 0時 直線為y 1 符合題意 故k 0 解析答案 3 若直線l交x軸負半軸于A 交y軸正半軸于B AOB的面積為S O為坐標(biāo)原點 求S的最小值并求此時直線l的方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解得k 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Smin 4 此時直線l的方程為x 2y 4 0 返回