第九章平面解析幾何 9 6雙曲線 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 題型分類深度剖析 易錯警示系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 1 雙曲線定義平面內(nèi)到兩個定點F1 F2的等于常數(shù) 小于F1F2的正數(shù) 的點的軌跡叫做雙曲線 兩個定點F1 F2叫做 兩焦點間的距離叫做 集合P M MF1 MF2 2a F1F2 2c 其中a c為常數(shù)且a 0 c 0 1 當時 P點的軌跡是雙曲線 2 當時 P點的軌跡是兩條射線 3 當時 P點不存在 距離的差的絕對值 雙曲線的焦點 雙曲線的焦距 2a F1F2 2a F1F2 2a F1F2 知識梳理 1 答案 2 雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì) 1 坐標軸 原點 a2 b2 2a 2b x a或x a y R x R y a或y a 答案 巧設(shè)雙曲線方程 知識拓展 判斷下面結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 平面內(nèi)到點F1 0 4 F2 0 4 距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線 思考辨析 答案 答案 解析由題意得b 2a 又a2 b2 c2 5a2 c2 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 又a 0 b 0 故a 1 b 2 1 2 解析答案 1 2 3 4 5 3 雙曲線x2 my2 1的虛軸長是實軸長的2倍 則雙曲線的漸近線方程為 y 2x 解析答案 1 2 3 4 5 4 已知F為雙曲線C x2 my2 3m m 0 的一個焦點 則點F到C的一條漸近線的距離為 解析答案 1 2 3 4 5 5 教材改編 經(jīng)過點A 3 1 且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線方程為 解析答案 1 2 3 4 5 返回 題型分類深度剖析 例1已知圓C1 x 3 2 y2 1和圓C2 x 3 2 y2 9 動圓M同時與圓C1及圓C2相外切 則動圓圓心M的軌跡方程為 命題點1雙曲線定義的應(yīng)用 題型一雙曲線的定義及標準方程 解析答案 解析如圖所示 設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B 根據(jù)兩圓外切的條件 得MC1 AC1 MA MC2 BC2 MB 因為MA MB 所以MC1 AC1 MC2 BC2 即MC2 MC1 BC2 AC1 2 所以點M到兩定點C1 C2的距離的差是常數(shù)且小于C1C2 6 解析答案 又根據(jù)雙曲線的定義 得動點M的軌跡為雙曲線的左支 點M與C2的距離大 與C1的距離小 其中a 1 c 3 則b2 8 例2根據(jù)下列條件 求雙曲線的標準方程 命題點2利用待定系數(shù)法求雙曲線方程 b 6 c 10 a 8 解析答案 2 焦距為26 且經(jīng)過點M 0 12 解 雙曲線經(jīng)過點M 0 12 M 0 12 為雙曲線的一個頂點 故焦點在y軸上 且a 12 又2c 26 c 13 b2 c2 a2 25 解析答案 解設(shè)雙曲線方程為mx2 ny2 1 mn 0 解析答案 思維升華 思維升華 求雙曲線標準方程的一般方法 2 定義法 依定義得出距離之差的等量關(guān)系式 求出a的值 由定點位置確定c的值 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 解析由題意知橢圓C1的焦點坐標為F1 5 0 F2 5 0 設(shè)曲線C2上的一點P 則 PF1 PF2 8 由雙曲線的定義知 a 4 b 3 解析答案 解析答案 題型二雙曲線的幾何性質(zhì) 又 1 2 2 60 答案2 A為線段BF的中點 2 3 解析答案 思維升華 解析答案 思維升華 思維升華 跟蹤訓(xùn)練2 解析答案 A2C A1B A1B A2C 解析答案 答案 1 解析答案 AF2 AF1 4 AF2 AF1 2a AF2 2 a AF1 2 a 在Rt F1AF2中 F1AF2 90 題型三直線與雙曲線的綜合問題 解析答案 解析答案 故雙曲線E的方程為x2 y2 1 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 解析答案 得 1 k2 x2 2kx 2 0 直線與雙曲線右支交于A B兩點 解析答案 思維升華 解析答案 思維升華 點C是雙曲線上一點 思維升華 思維升華 1 研究直線與雙曲線位置關(guān)系問題的通法 將直線方程代入雙曲線方程 消元 得關(guān)于x或y的一元二次方程 當二次項系數(shù)等于0時 直線與雙曲線相交于某支上一點 這時直線平行于一條漸近線 當二次項系數(shù)不等于0時 用判別式 來判定 2 用 點差法 可以解決弦中點和弦斜率的關(guān)系問題 但需要檢驗 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 解析答案 解設(shè)A xA yA B xB yB 3 在 2 的條件下 線段AB的垂直平分線l0與y軸交于M 0 m 求m的取值范圍 解析答案 返回 解析答案 返回 易錯警示系列 易錯分析由于 判別式 是判斷直線與圓錐曲線是否有公共點的重要方法 所以在解決直線與圓錐曲線相交的問題時 有時不需要考慮 判別式 致使有的考生思維定勢的原因 任何情況下都沒有考慮 判別式 導(dǎo)致解題錯誤 11 忽視 判別式 致誤 易錯警示系列 溫馨提醒 解析答案 易錯分析 返回 規(guī)范解答解設(shè)點A x1 y1 B x2 y2 在雙曲線上 且線段AB的中點為 x0 y0 若直線l的斜率不存在 顯然不符合題意 2分 設(shè)經(jīng)過點P的直線l的方程為y 1 k x 1 即y kx 1 k 4分 得 2 k2 x2 2k 1 k x 1 k 2 2 0 2 k2 0 7分 溫馨提醒 解析答案 當k 2時 方程 成為2x2 4x 3 0 16 24 8 0 方程 沒有實數(shù)解 13分 不能作一條直線l與雙曲線交于A B兩點 且點P 1 1 是線段AB的中點 14分 溫馨提醒 溫馨提醒 1 本題是以雙曲線為背景 探究是否存在符合條件的直線 題目難度不大 思路也很清晰 但結(jié)論卻不一定正確 錯誤原因是忽視對直線與雙曲線是否相交的判斷 從而導(dǎo)致錯誤 因為所求的直線是基于假設(shè)存在的情況下所得的 2 本題屬探索性問題 若存在 可用點差法求出AB的斜率 進而求方程 也可以設(shè)斜率k 利用待定系數(shù)法求方程 3 求得的方程是否符合要求 一定要注意檢驗 返回 思想方法感悟提高 方法與技巧 1 區(qū)分雙曲線中的a b c大小關(guān)系與橢圓中的a b c大小關(guān)系 在橢圓中a2 b2 c2 而在雙曲線中c2 a2 b2 2 雙曲線的離心率e 1 而橢圓的離心率e 0 1 4 若利用弦長公式計算 在設(shè)直線斜率時要注意說明斜率不存在的情況 失誤與防范 5 直線與雙曲線交于一點時 不一定相切 例如 當直線與雙曲線的漸近線平行時 直線與雙曲線相交于一點 但不是相切 反之 當直線與雙曲線相切時 直線與雙曲線僅有一個交點 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點 且與C的一條對稱軸垂直 l與C交于A B兩點 AB為C的實軸長的2倍 則C的離心率為 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由于直線l過雙曲線的一個焦點且與對稱軸垂直 因此直線l的方程為 x c或x c 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由題意知右焦點到原點的距離為c 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 點M x0 y0 在雙曲線上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以c2 n 1 4或1 n 4 解得n 5或 3 舍去 答案5 解析因為雙曲線的焦點是 0 2 所以焦點在y軸上 所以c2 3m m 4m 4 解得m 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由條件知a2 1 22 4 a2 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 設(shè)直線l x 3y m 0 m 0 因為PA PB 所以PC l 所以kPC 3 化簡得a2 4b2 在雙曲線中 c2 a2 b2 5b2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 雙曲線為等軸雙曲線 可設(shè)其方程為x2 y2 0 解析答案 雙曲線方程為x2 y2 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 若點M 3 m 在雙曲線上 求證 點M在以F1F2為直徑的圓上 證明 點M 3 m 在雙曲線上 32 m2 6 m2 3 MF1 MF2 點M在以F1F2為直徑的圓上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 在 2 的條件下求 F1MF2的面積 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 整理得3e2 2e e4 e e3 3e 3 1 1 e 1 2 答案 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 設(shè)雙曲線C的中心為點O 若有且只有一對相交于點O 所成的角為60 的直線A1B1和A2B2 使A1B1 A2B2 其中A1 B1和A2 B2分別是這對直線與雙曲線C的交點 則該雙曲線的離心率的取值范圍是 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由雙曲線的對稱性知 滿足題意的這一對直線也關(guān)于x軸 或y軸 對稱 又由題意知有且只有一對這樣的直線 故該雙曲線在第一象限的漸近線的傾斜角范圍是大于30 且小于等于60 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由雙曲線C的方程 知a 3 b 4 c 5 點A 5 0 是雙曲線C的右焦點 且PQ QA PA 4b 16 由雙曲線定義 得PF PA 6 QF QA 6 PF QF 12 PA QA 28 因此 PQF的周長為PF QF PQ 28 16 44 答案44 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由定義 知PF1 PF2 2a 又PF1 4PF2 解析答案 要求e的最大值 即求cos F1PF2的最小值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解由題意知雙曲線的漸近線方程為y 2x 設(shè)A m 2m B n 2n 其中m 0 n 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回