課時1直線與圓錐曲線 9 8圓錐曲線的綜合問題 內(nèi)容索引 題型一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 題型二弦長問題 題型三中點弦問題 練出高分 思想方法感悟提高 題型一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 解析答案 題型一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 所以直線l與雙曲線C有兩個交點 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得兩個交點橫坐標符號不同 故兩個交點分別在左 右支上 答案 解析關(guān)于t的方程t2cos tsin 0的兩個不等實根為0 tan tan 0 則過A B兩點的直線方程為y xtan 所以直線y xtan 與雙曲線沒有公共點 0 解析答案 解析答案 設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2 y2 4x相切 求直線l的方程 解析答案 思維升華 由題意可知此方程有唯一解 解析答案 思維升華 解析答案 思維升華 思維升華 思維升華 研究直線和圓錐曲線的位置關(guān)系 一般轉(zhuǎn)化為研究直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組解的個數(shù) 對于填空題 常充分利用幾何條件 利用數(shù)形結(jié)合的方法求解 跟蹤訓練1 解析答案 方程 根的判別式 8m 2 4 9 2m2 4 8m2 144 解將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立 將 代入 整理得9x2 8mx 2m2 4 0 2 有且只有一個公共點 解析答案 3 沒有公共點 解析答案 返回 題型二弦長問題 解析答案 題型二弦長問題 解析答案 思維升華 設(shè)點M N的坐標分別為 x1 y1 x2 y2 則y1 k x1 1 y2 k x2 1 解析答案 思維升華 思維升華 思維升華 有關(guān)圓錐曲線弦長問題的求解方法 涉及弦長的問題中 應熟練的利用根與系數(shù)的關(guān)系 設(shè)而不求法計算弦長 涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系 設(shè)而不求法簡化運算 涉及過焦點的弦的問題 可考慮用圓錐曲線的定義求解 跟蹤訓練2 解析答案 聯(lián)立 得a2 9 b2 8 2 若AC BD 求直線l的斜率 解析答案 返回 解如圖 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 D x4 y4 從而x3 x1 x4 x2 即x1 x2 x3 x4 于是 x1 x2 2 4x1x2 x3 x4 2 4x3x4 設(shè)直線l的斜率為k 則l的方程為y kx 1 解析答案 而x1 x2是這個方程的兩根 所以x1 x2 4k x1x2 4 而x3 x4是這個方程的兩根 解析答案 返回 題型三中點弦問題 解析答案 題型三中點弦問題 解析答案 即a2 2b2 又a2 b2 c2 解析答案 思維升華 解析設(shè)M x1 y1 N x2 y2 MN的中點P x0 y0 解析答案 思維升華 M N關(guān)于直線y x m對稱 kMN 1 y0 3x0 解得m 0或 8 經(jīng)檢驗都符合 答案0或 8 思維升華 思維升華 設(shè)拋物線過定點A 1 0 且以直線x 1為準線 1 求拋物線頂點的軌跡C的方程 解設(shè)拋物線頂點為P x y 則焦點F 2x 1 y 再根據(jù)拋物線的定義得AF 2 即 2x 2 y2 4 跟蹤訓練3 解析答案 解析答案 返回 兩式相減 得4 xM xN xM xN yM yN yM yN 0 解析答案 解析答案 返回 思想方法感悟提高 1 有關(guān)弦的三個問題涉及弦長的問題 應熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系 設(shè)而不求計算弦長 涉及垂直關(guān)系往往也是利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求簡化運算 涉及過焦點的弦的問題 可考慮利用圓錐曲線的定義求解 2 求解與弦有關(guān)問題的兩種方法 1 方程組法 聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程 消元 x或y 成為二次方程之后 結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系 建立等式關(guān)系或不等式關(guān)系 方法與技巧 2 點差法 在求解圓錐曲線且題目中已有直線與圓錐曲線相交和被截線段的中點坐標時 設(shè)出直線和圓錐曲線的兩個交點坐標 代入圓錐曲線的方程并作差 從而求出直線的斜率 然后利用中點求出直線方程 點差法 的常見題型有 求中點弦方程 求 過定點 平行弦 弦中點軌跡 垂直平分線問題 必須提醒的是 點差法 具有不等價性 即要考慮判別式 是否為正數(shù) 判斷直線與圓錐曲線位置關(guān)系時的注意點 1 直線與雙曲線交于一點時 易誤認為直線與雙曲線相切 事實上不一定相切 當直線與雙曲線的漸近線平行時 直線與雙曲線相交于一點 2 直線與拋物線交于一點時 除直線與拋物線相切外 易忽視直線與對稱軸平行時也相交于一點 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以它與雙曲線只有1個交點 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析設(shè)A B兩點的坐標分別為 x1 y1 x2 y2 直線l的方程為y x t 得5x2 8tx 4 t2 1 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 過拋物線y2 4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A B兩點 它們到直線x 2的距離之和等于5 則這樣的直線有 條 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析拋物線y2 4x的焦點坐標為 1 0 準線方程為x 1 設(shè)A B的坐標分別為 x1 y1 x2 y2 則A B到直線x 1的距離之和為x1 x2 2 設(shè)直線方程為x my 1 代入拋物線y2 4x 則y2 4 my 1 即y2 4my 4 0 x1 x2 m y1 y2 2 4m2 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x1 x2 2 4m2 4 4 A B到直線x 2的距離之和x1 x2 2 2 6 5 滿足題意的直線不存在 答案0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 答案4 解析 使得AB 的直線l恰有3條 根據(jù)對稱性 其中有一條直線與實軸垂直 雙曲線的兩個頂點之間的距離是2 小于4 過雙曲線的焦點一定有兩條直線使得交點之間的距離等于4 綜上可知 AB 4時 有3條直線滿足題意 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 在拋物線y x2上關(guān)于直線y x 3對稱的兩點M N的坐標分別為 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析設(shè)直線MN的方程為y x b 代入y x2中 整理得x2 x b 0 令 1 4b 0 設(shè)M x1 y1 N x2 y2 則x1 x2 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 2 4 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析設(shè)直線與橢圓交于A x1 y1 B x2 y2 兩點 由于A B兩點均在橢圓上 解析答案 又 P是A B的中點 x1 x2 6 y1 y2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即3x 4y 13 0 答案3x 4y 13 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 PF2 解析答案 因為PF2 F2Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 試判斷直線PQ與橢圓C的公共點個數(shù) 并證明你的結(jié)論 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 b2 c2 x2 2a2cx a4 a2b2 0 而a2 b2 c2 上式可化為a2x2 2a2cx a2c2 0 解得x c 直線PQ與橢圓C只有一個公共點 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 2014 湖北 在平面直角坐標系xOy中 點M到點F 1 0 的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1 記點M的軌跡為C 1 求軌跡C的方程 解設(shè)點M x y 依題意得MF x 1 化簡整理得y2 2 x x 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 設(shè)斜率為k的直線l過定點P 2 1 求直線l與軌跡C恰好有一個公共點 兩個公共點 三個公共點時k的相應取值范圍 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解在點M的軌跡C中 記C1 y2 4x x 0 C2 y 0 x 0 依題意 可設(shè)直線l的方程為y 1 k x 2 可得ky2 4y 4 2k 1 0 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 當k 0時 此時y 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由拋物線的性質(zhì)可知PF 6 2 8 8 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 經(jīng)過點P的直線y 2x m m 0 與雙曲線C有且只有一個交點 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 則點B在x軸的上方 過點B作該拋物線的準線的垂線 垂足為B1 由此得p 2 拋物線方程是y2 4x 解析答案 焦點F 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 已知拋物線E y2 2px p 0 經(jīng)過圓F x2 y2 2x 4y 4 0的圓心 則拋物線E的準線與圓F相交所得的弦長為 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析圓的標準方程為 x 1 2 y 2 2 32 圓心為F 1 2 代入拋物線方程可得p 2 所以其準線方程為x 1 圓心到直線x 1的距離d 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若直線l y kx m與橢圓C相交于A B兩點 A B不是左 右頂點 且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點 求證 直線l過定點 并求出該定點的坐標 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解設(shè)A x1 y1 B x2 y2 得 3 4k2 x2 8mkx 4 m2 3 0 64m2k2 16 3 4k2 m2 3 0 整理得3 4k2 m2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D 2 0 kAD kBD 1 解析答案 y1y2 x1x2 2 x1 x2 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 整理得7m2 16mk 4k2 0 且滿足3 4k2 m2 0 當m 2k時 l y k x 2 直線過定點 2 0 與已知矛盾 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回