第十一節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 1 設(shè)函數(shù)y f x 在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)若f x 0 則f x 在這個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù) 若f x 0或f x 0時 f x 在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù) 當(dāng)f x 0時 f x 在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù) 2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 1 函數(shù)的極小值與極小值點(diǎn)若函數(shù)y f x 在點(diǎn)x a的函數(shù)值f a 比它在點(diǎn)x a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小 f a 0 而且在點(diǎn)x a附近的左側(cè)f x 0 則點(diǎn)a叫做函數(shù)y f x 的極小值點(diǎn) f a 叫做函數(shù)y f x 的極小值 2 函數(shù)的極大值與極大值點(diǎn)若函數(shù)y f x 在點(diǎn)x b的函數(shù)值f b 比它在點(diǎn)x b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大 f b 0 而且在點(diǎn)x b附近的左側(cè)f x 0 右側(cè)f x 0 右側(cè)f x 0 那么f x0 是極小值 3 函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù) 1 函數(shù)最值的概念設(shè)函數(shù)y f x 在 a b 上連續(xù) 在 a b 內(nèi)可導(dǎo) 函數(shù)f x 在 a b 上一切函數(shù)值中的最大 最小 值 叫做函數(shù)y f x 的最大 最小 值 2 求函數(shù)最值的步驟設(shè)函數(shù)y f x 在 a b 上連續(xù) 在 a b 內(nèi)可導(dǎo) 求f x 在 a b 上的最值 可分兩步進(jìn)行 1 求函數(shù)y f x 在 a b 內(nèi)的極值 2 將函數(shù)y f x 的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f a f b 比較 其中最大的一個是最大值 最小的一個是最小值 4 常用的數(shù)學(xué)方法與思想分類討論思想 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化化歸思想 1 2016 鄭州一中調(diào)研 函數(shù)f x 的定義域?yàn)殚_區(qū)間 a b 導(dǎo)函數(shù)在 a b 內(nèi)的圖象如下圖所示 則函數(shù)f x 在開區(qū)間 a b 內(nèi)的極大值點(diǎn)有 A 1個B 2個C 3個D 4個1 B 解析 對導(dǎo)函數(shù)的圖象研究發(fā)現(xiàn)其函數(shù)值正負(fù)構(gòu)成是 所以可畫出原函數(shù)的大致圖象 數(shù)形結(jié)合 易知其在開區(qū)間 a b 內(nèi)有兩個極大值點(diǎn) 變式訓(xùn)練 2015 廣東高考 設(shè)a 1 函數(shù)f x 1 x2 ex a 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間 2 證明 f x 在 上僅有一個零點(diǎn) 解析 1 f x 1 x2 ex a f x 2xex 1 x2 ex 2x 1 x2 ex 1 x 2ex 0 故函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 2 由題意可得 f 0 1 02 e0 a 1 aa e0 a 0 根據(jù)零點(diǎn)存在定理 由于f 0 f a 0 故f x 在 0 a 內(nèi)存在零點(diǎn) 結(jié)合 1 中所得f x 在 上單調(diào)遞增 由此可得 f x 在 上僅有一個零點(diǎn) 2015 南通三模 設(shè)函數(shù)f x x2 bln x 1 1 若x 1時 函數(shù)f x 取最小值 求實(shí)數(shù)b的值 2 若函數(shù)f x 在定義域上是單調(diào)函數(shù) 求實(shí)數(shù)b的取值范圍 解題思路 注意定義域優(yōu)先 利用單調(diào)性確定最值對應(yīng)的自變量的取值 分單調(diào)遞增與遞減討論 參考答案 1 由x 1 0得x 1 f x 的定義域?yàn)?1 對x 1 都有f x f 1 f 1 是函數(shù)f x 的最小值 故有f 1 0 變式訓(xùn)練 2015 張掖診斷 已知函數(shù)f x ax2 x 1 ex 其中e是自然對數(shù)的底數(shù) a R 1 若曲線f x 在點(diǎn) 1 f 1 處的切線的斜率為4e 求切線方程 2 試求f x 的單調(diào)區(qū)間并求出當(dāng)a 0時f x 的極小值 解析 1 f x 2ax 1 ex ax2 x 1 ex ax2 2a 1 x ex f 1 3a 1 e 4e 解得a 1 f 1 e 切點(diǎn)坐標(biāo)為 1 e 切線方程為y e 4e x 1 即所求切線方程為4ex y 3e 0 與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式恒成立與存在性兩大問題的求解策略由不等式恒成立或存在性求參數(shù)范圍是每年高考的命題熱點(diǎn) 難點(diǎn) 綜合性強(qiáng) 難度高 通常以兩種情況體現(xiàn) 1 不等式恒成立問題求參數(shù)范圍 2 不等式存在性問題求參數(shù)范圍 1 不等式恒成立問題求參數(shù)范圍典例1 2015 北京通州區(qū)模擬 已知函數(shù)f x ae x x 1 a R 1 若對任意x 0 f x 0恒成立 求a的取值范圍 參考答案 1 由f x 0 所以g x 在 0 上單調(diào)遞增 所以 1 g x 所以a 1 2 不等式存在性問題求參數(shù)范圍典例2 2015 新課標(biāo)全國卷 設(shè)函數(shù)f x ex 2x 1 ax a 其中a 1 若存在唯一的整數(shù)x0使得f x0 0 則a的取值范圍是 1 2014 新課標(biāo)全國卷 已知函數(shù)f x ax3 3x2 1 若f x 存在唯一的零點(diǎn)x0 且x0 0 則a的取值范圍是 A 2 B 2 C 1 D 1 1 B 解析 當(dāng)a 0時 顯然不滿足條件 故a 0 由f x ax3 3x2 1可得f x 3ax2 6x 由f x 0可得x 0或 2 2015 山東高考 設(shè)函數(shù)f x ln x 1 a x2 x 其中a R 1 討論函數(shù)f x 極值點(diǎn)的個數(shù) 并說明理由 2 若 x 0 f x 0成立 求a的取值范圍