第5講指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 知識梳理 根式 0 沒有意義 ars ar s arbr 3 指數(shù)函數(shù)及其性質 1 概念 函數(shù)y ax a 0且a 1 叫做指數(shù)函數(shù) 其中指數(shù)x是變量 函數(shù)的定義域是R a是底數(shù) 2 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質 R 0 0 1 0 y 1 y 1 0 y 1 增 減 y 1 診斷自測 2 設a 0 60 6 b 0 61 5 c 1 50 6 則a b c的大小關系是 A a b cB a c bC b a cD b c a 解析根據(jù)指數(shù)函數(shù)y 0 6x在R上單調遞減可得0 61 5 0 60 6 0 60 1 而c 1 50 6 1 b a c 答案C 3 函數(shù)f x ax 2 1 a 0 且a 1 的圖象必經過點 A 0 1 B 1 1 C 2 0 D 2 2 解析 a0 1 f 2 2 故f x 的圖象必過點 2 2 答案D 4 2015 山東卷 已知函數(shù)f x ax b a 0 a 1 的定義域和值域都是 1 0 則a b 答案4a 考點一指數(shù)冪的運算 2 原式 規(guī)律方法 1 指數(shù)冪的運算首先將根式 分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪 以便利用法則計算 但應注意 必須同底數(shù)冪相乘 指數(shù)才能相加 運算的先后順序 2 當?shù)讛?shù)是負數(shù)時 先確定符號 再把底數(shù)化為正數(shù) 3 運算結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù) 也不能既有分母又含有負指數(shù) 訓練1 1 化簡 2 計算 解 1 原式 2 原式 2 已知實數(shù)a b滿足等式2014a 2015b 下列五個關系式 0 b a a b 0 0 a b b a 0 a b 其中不可能成立的關系式有 A 1個B 2個C 3個D 4個 2 設2014a 2015b y 如圖所示 由函數(shù)圖象 可得若y 1 則有a b 0 若y 1 則有a b 0 若0 y 1 則有a b 0 故 可能成立 而 不可能成立 答案 1 D 2 B 規(guī)律方法 1 與指數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)圖象問題的研究 往往利用相應指數(shù)函數(shù)的圖象 通過平移 對稱變換得到其圖象 2 一些指數(shù)方程 不等式問題的求解 往往結合相應的指數(shù)型函數(shù)圖象 利用數(shù)形結合求解 訓練2 1 函數(shù)f x ax b的圖象如圖 其中a b為常數(shù) 則下列結論正確的是 A a 1 b 0B a 1 b 0C 0 a 1 b 0D 0 a 1 b 0 2 2016 衡水模擬 若曲線 y 2x 1與直線y b沒有公共點 則b的取值范圍是 2 曲線 y 2x 1與直線y b的圖象如圖所示 由圖象可知 如果 y 2x 1與直線y b沒有公共點 則b應滿足的條件是b 1 1 答案 1 D 2 1 1 解析 1 由f x ax b的圖象可以觀察出 函數(shù)f x ax b在定義域上單調遞減 所以0 a 1 又由圖象在y軸截距小于1可知a b 1 即 b 0 所以b 0 故選D 答案 1 B 2 D 規(guī)律方法 1 在利用指數(shù)函數(shù)性質解決相關綜合問題時 要特別注意底數(shù)a的取值范圍 并在必要時進行分類討論 2 與指數(shù)函數(shù)有關的指數(shù)型函數(shù)的定義域 值域 最值 單調性 奇偶性的求解方法 要化歸于指數(shù)函數(shù)來解 訓練3 1 2016 滕州一中模擬 下列各式比較大小正確的是 A 1 72 5 1 73B 0 6 1 0 62C 0 8 0 1 1 250 2D 1 70 3 0 93 1 2 已知函數(shù)f x 2 2x m m為常數(shù) 若f x 在區(qū)間 2 上是增函數(shù) 則m的取值范圍是 解析 1 A中 函數(shù)y 1 7x在R上是增函數(shù) 2 50 62 C中 0 8 1 1 25 問題轉化為比較1 250 1與1 250 2的大小 y 1 25x在R上是增函數(shù) 0 11 0 0 93 10 93 1 答案 1 B 2 4 思想方法 1 比較兩個指數(shù)冪大小時 盡量化同底或同指數(shù) 當?shù)讛?shù)相同 指數(shù)不同時 構造同一指數(shù)函數(shù) 然后比較大小 當指數(shù)相同 底數(shù)不同時 構造兩個指數(shù)函數(shù) 利用圖象比較大小 2 指數(shù)函數(shù)y ax a 0 且a 1 的單調性和底數(shù)a有關 當?shù)讛?shù)a與1的大小關系不確定時應注意分類討論 3 與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的單調性 要弄清復合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復合而成 而與其有關的最值問題 往往轉化為二次函數(shù)的最值問題 易錯防范 1 指數(shù)冪的運算容易出現(xiàn)的問題是誤用指數(shù)冪的運算法則 或在運算中變換的方法不當 不注意運算的先后順序等 2 形如a2x b ax c 0或a2x b ax c 0 0 形式 常借助換元法轉化為二次方程或不等式求解 但應注意換元后 新元 的范圍