第9講函數(shù)模型及其應(yīng)用 考試要求1 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征 A級要求 2 函數(shù)模型 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 冪函數(shù) 分段函數(shù)等 的廣泛應(yīng)用 B級要求 知識(shí)梳理 幾類函數(shù)模型及其增長差異 1 幾類函數(shù)模型 2 指數(shù) 對數(shù) 冪函數(shù)模型性質(zhì)比較 遞增 遞增 y軸 x軸 診斷自測 1 判斷正誤 在括號內(nèi)打 或 1 函數(shù)y 2x的函數(shù)值比y x2的函數(shù)值大 2 指數(shù)爆炸 是指數(shù)型函數(shù)y abx c a 0 b 0 b 1 增長速度越來越快的形象比喻 3 冪函數(shù)增長比直線增長更快 4 f x x2 g x 2x h x log2x 當(dāng)x 4 時(shí) 恒有h x f x g x 2 小明騎車上學(xué) 開始時(shí)勻速行駛 途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間后 為了趕時(shí)間加快速度行駛 則下列圖象與以上事件吻合得最好的是 填序號 解析小明勻速運(yùn)動(dòng)時(shí) 所得圖象為一條直線 且距離學(xué)校越來越近 排除 因交通堵塞停留了一段時(shí)間 與學(xué)校的距離不變 排除 后來為了趕時(shí)間加快速度行駛 排除 故 符合 答案 3 2015 南京 鹽城模擬 用長度為24的材料圍一矩形場地 中間加兩道隔墻 要使矩形的面積最大 則隔墻的長度為 答案3 4 2015 四川卷 某食品的保鮮時(shí)間y 單位 小時(shí) 與儲(chǔ)藏溫度x 單位 滿足函數(shù)關(guān)系y ekx b e 2 718 為自然對數(shù)的底數(shù) k b為常數(shù) 若該食品在0 的保鮮時(shí)間是192小時(shí) 在22 的保鮮時(shí)間是48小時(shí) 則該食品在33 的保鮮時(shí)間是 小時(shí) 答案24 5 2014 北京卷改編 加工爆米花時(shí) 爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為 可食用率 在特定條件下 可食用率p與加工時(shí)間t 單位 分鐘 滿足函數(shù)關(guān)系p at2 bt c a b c是常數(shù) 如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù) 根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 可以得到最佳加工時(shí)間為 分鐘 答案3 75 考點(diǎn)一二次函數(shù)模型 例1 A B兩城相距100km 在兩城之間距A城x km 處建一核電站給A B兩城供電 為保證城市安全 核電站距城市距離不得小于10km 已知供電費(fèi)用等于供電距離 km 的平方與供電量 億度 之積的0 25倍 若A城供電量為每月20億度 B城供電量為每月10億度 1 求x的取值范圍 2 把月供電總費(fèi)用y表示成x的函數(shù) 3 核電站建在距A城多遠(yuǎn) 才能使供電總費(fèi)用y最少 規(guī)律方法在建立二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題中的最優(yōu)問題時(shí) 一定要注意自變量的取值范圍 需根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸與函數(shù)定義域之間的位置關(guān)系討論求解 訓(xùn)練1 2014 武漢高三檢測 某汽車銷售公司在A B兩地銷售同一種品牌的汽車 在A地的銷售利潤 單位 萬元 為y1 4 1x 0 1x2 在B地的銷售利潤 單位 萬元 為y2 2x 其中x為銷售量 單位 輛 若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車 則能獲得的最大利潤是 萬元 答案43 考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)模型 例2 世界人口在過去40年翻了一番 則每年人口平均增長率是 參考數(shù)據(jù)lg2 0 3010 100 0075 1 017 答案1 7 規(guī)律方法在實(shí)際問題中 有關(guān)人口增長 銀行利率 細(xì)胞分裂等增長率問題常用指數(shù)函數(shù)模型表示 通常可以表示為y N 1 p x 其中N為基礎(chǔ)數(shù) p為增長率 x為時(shí)間 的形式 解題時(shí) 往往用到對數(shù)運(yùn)算 要注意與已知表格中給定的值對應(yīng)求解 訓(xùn)練2 某位股民購進(jìn)某支股票 在接下來的交易時(shí)間內(nèi) 他的這支股票先經(jīng)歷了n次漲停 每次上漲10 又經(jīng)歷了n次跌停 每次下跌10 給出該股民關(guān)于這支股票的盈虧情況 不考慮其他費(fèi)用 略有盈利 略有虧損 沒有盈利也沒有虧損 其中說法正確的為 填序號 解析設(shè)該股民購這支股票的價(jià)格為a元 則經(jīng)歷n次漲停后的價(jià)格為a 1 10 n a 1 1n元 經(jīng)歷n次跌停后的價(jià)格為a 1 1n 1 10 n a 1 1n 0 9n a 1 1 0 9 n 0 99n a a 故該股民這支股票略有虧損 答案 考點(diǎn)三分段函數(shù)模型 1 寫出2017年第x個(gè)月的旅游人數(shù)f x 單位 萬人 與x的函數(shù)關(guān)系式 2 試問2017年第幾個(gè)月旅游消費(fèi)總額最大 最大月旅游消費(fèi)總額為多少元 規(guī)律方法 1 很多實(shí)際問題中 變量間的關(guān)系不能用一個(gè)關(guān)系式給出 這時(shí)就需要構(gòu)建分段函數(shù)模型 如出租車的票價(jià)與路程的函數(shù)就是分段函數(shù) 2 求函數(shù)最值常利用基本不等式法 導(dǎo)數(shù)法 函數(shù)的單調(diào)性等方法 在求分段函數(shù)的最值時(shí) 應(yīng)先求每一段上的最值 然后比較得最大值 最小值 訓(xùn)練3 某建材商場國慶期間搞促銷活動(dòng) 規(guī)定 顧客購物總金額不超過800元 不享受任何折扣 如果顧客購物總金額超過800元 則超過800元部分享受一定的折扣優(yōu)惠 按下表折扣分別累計(jì)計(jì)算 解析若x 1300元 則y 5 1300 800 25 元 30 元 因此x 1300 由10 x 1300 25 30 得x 1350 元 答案1350 思想方法 解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟 四步八字 1 審題 弄清題意 分清條件和結(jié)論 理順數(shù)量關(guān)系 初步選擇數(shù)學(xué)模型 2 建模 將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言 將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言 利用數(shù)學(xué)知識(shí) 建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型 3 解模 求解數(shù)學(xué)模型 得出數(shù)學(xué)結(jié)論 4 還原 將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義 以上過程用框圖表示如下 易錯(cuò)防范 1 解應(yīng)用題思路的關(guān)鍵是審題 不僅要明白 理解問題講的是什么 還要特別注意一些關(guān)鍵的字眼 如 幾年后 與 第幾年后 學(xué)生常常由于讀題不謹(jǐn)慎而漏讀和錯(cuò)讀 導(dǎo)致題目不會(huì)做或函數(shù)解析式寫錯(cuò) 故建議復(fù)習(xí)時(shí)務(wù)必養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣 2 在解應(yīng)用題建模后一定要注意定義域 建模的關(guān)鍵是注意尋找量與量之間的相互依賴關(guān)系 3 解決完數(shù)學(xué)模型后 注意轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題寫出總結(jié)答案