第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2 1函數(shù)及其表示 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 題型分類深度剖析 思想與方法系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 1 函數(shù)與映射 數(shù)集 集合 知識梳理 1 答案 2 函數(shù)的有關(guān)概念 1 函數(shù)的定義域 值域在函數(shù)y f x x A中 其中所有x組成的集合A稱為函數(shù)y f x 的 將所有y組成的集合叫做函數(shù)y f x 的 2 函數(shù)的三要素 和 3 函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有 和 定義域 值域 定義域 對應(yīng)法則 值域 列表法 解析法 圖象法 答案 3 分段函數(shù)在定義域內(nèi)不同部分上 有不同的解析表達(dá)式 這樣的函數(shù) 通常叫做分段函數(shù) 分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的 其值域等于各段函數(shù)的值域的 分段函數(shù)雖由幾個部分組成 但它表示的是一個函數(shù) 并集 并集 答案 4 常見函數(shù)定義域的求法 f x 0 f x 0 f x 0 且f x 1 g x 0 答案 判斷下面結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 對于函數(shù)f A B 其值域是集合B 2 若兩個函數(shù)的定義域與值域相同 則這兩個函數(shù)是相等函數(shù) 3 映射是特殊的函數(shù) 4 若A R B x x 0 f x y x 其對應(yīng)是從A到B的映射 5 分段函數(shù)是由兩個或幾個函數(shù)組成的 6 若函數(shù)f x 的定義域為 x 1 x 3 則函數(shù)f 2x 1 的定義域為 x 1 x 5 答案 思考辨析 解析f 1 i 1 i 1 i 2 f f 1 i f 2 1 2 3 3 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 4 教材改編 若函數(shù)y f x 的定義域為M x 2 x 2 值域為N y 0 y 2 則函數(shù)y f x 的圖象可能是 填序號 解析 中函數(shù)定義域不是 2 2 中圖象不表示函數(shù) 中函數(shù)值域不是 0 2 故填 解析答案 1 2 3 4 5 解析對于 函數(shù)是映射 但映射不一定是函數(shù) 對于 f x 是定義域為 2 值域為 0 的函數(shù) 對于 函數(shù)y 2x x N 的圖象不是一條直線 對于 函數(shù)的定義域和值域不一定是無限集合 解析答案 1 2 3 4 5 返回 題型分類深度剖析 題型一函數(shù)的概念 解析答案 思維升華 所以二者不是同一函數(shù) 對于 若x 1不是y f x 定義域內(nèi)的值 則直線x 1與y f x 的圖象沒有交點 如果x 1是y f x 定義域內(nèi)的值 由函數(shù)定義可知 直線x 1與y f x 的圖象只有一個交點 即y f x 的圖象與直線x 1最多有一個交點 解析答案 思維升華 對于 f x 與g t 的定義域 值域和對應(yīng)法則均相同 所以f x 和g t 表示同一函數(shù) 綜上可知 正確的判斷是 答案 思維升華 思維升華 函數(shù)的值域可由定義域和對應(yīng)法則唯一確定 當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對應(yīng)法則都相同的函數(shù)才是同一函數(shù) 值得注意的是 函數(shù)的對應(yīng)法則是就結(jié)果而言的 判斷兩個函數(shù)的對應(yīng)法則是否相同 只要看對于函數(shù)定義域中的任意一個相同的自變量的值 按照這兩個對應(yīng)法則算出的函數(shù)值是否相同 解析 中兩函數(shù)對應(yīng)法則不同 中的函數(shù)定義域不同 表示同一函數(shù) 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 2 下列所給圖象是函數(shù)圖象的個數(shù)為 解析 中當(dāng)x 0時 每一個x的值對應(yīng)兩個不同的y值 因此不是函數(shù)圖象 中當(dāng)x x0時 y的值有兩個 因此不是函數(shù)圖象 中每一個x的值對應(yīng)唯一的y值 因此是函數(shù)圖象 2 解析答案 題型二函數(shù)的定義域 命題點1求給定函數(shù)解析式的定義域 3 0 解得 3 x 0 所以函數(shù)f x 的定義域為 3 0 解析答案 1 1 1 需滿足x 1 0且x 1 0 得x 1 且x 1 解析答案 命題點2求抽象函數(shù)的定義域 解析答案 解得0 x 1或1 x 2015 故函數(shù)g x 的定義域為 0 1 1 2015 答案 0 1 1 2015 解析令t x 1 則由已知函數(shù)的定義域為 1 2016 可知1 t 2016 要使函數(shù)f x 1 有意義 則有1 x 1 2016 解得0 x 2015 故函數(shù)f x 1 的定義域為 0 2015 解析 函數(shù)f x 的定義域為 0 1 則1 x 4或 5 x 2 5 2 或 1 4 解析答案 即 20 x2 2ax a 0恒成立 解析因為函數(shù)f x 的定義域為R 所以 0對x R恒成立 命題點3已知定義域求參數(shù)范圍 1 0 因此有 2a 2 4a 0 解得 1 a 0 解析答案 思維升華 思維升華 簡單函數(shù)定義域的類型及求法 1 已知函數(shù)的解析式 則構(gòu)造使解析式有意義的不等式 組 求解 2 抽象函數(shù) 無論是已知定義域還是求定義域 均是指其中的自變量x的取值集合 對應(yīng)f下的范圍一致 3 已知定義域求參數(shù)范圍 可將問題轉(zhuǎn)化 列出含參數(shù)的不等式 組 進(jìn)而求范圍 解析因為函數(shù)f x 的定義域是 0 2 跟蹤訓(xùn)練2 解析答案 1 1 解析答案 題型三求函數(shù)解析式 解析答案 2 已知f x 是一次函數(shù) 且滿足3f x 1 2f x 1 2x 17 則f x 2x 7 解析 待定系數(shù)法 設(shè)f x ax b a 0 則3f x 1 2f x 1 3ax 3a 3b 2ax 2a 2b ax 5a b 即ax 5a b 2x 17不論x為何值都成立 f x 2x 7 解析答案 解析 消去法 解析答案 思維升華 思維升華 函數(shù)解析式的求法 1 待定系數(shù)法 若已知函數(shù)的類型 如一次函數(shù) 二次函數(shù) 可用待定系數(shù)法 2 換元法 已知復(fù)合函數(shù)f g x 的解析式 可用換元法 此時要注意新元的取值范圍 3 配湊法 由已知條件f g x F x 可將F x 改寫成關(guān)于g x 的表達(dá)式 然后以x替代g x 便得f x 的解析式 4 消去法 已知f x 與f或f x 之間的關(guān)系式 可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組 通過解方程組求出f x x2 1 x 1 得f t t2 1 t 1 f x x2 1 x 1 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 2 定義在R上的函數(shù)f x 滿足f x 1 2f x 若當(dāng)0 x 1時 f x x 1 x 則當(dāng) 1 x 0時 f x 解析當(dāng) 1 x 0時 0 x 1 1 解析答案 3 定義在 1 1 內(nèi)的函數(shù)f x 滿足2f x f x lg x 1 則f x 解析當(dāng)x 1 1 時 有2f x f x lg x 1 以 x代替x得 2f x f x lg x 1 由 消去f x 得 返回 解析答案 思想與方法系列 解析當(dāng)x 1時 ex 1 2 解得x 1 ln2 x 1 當(dāng)x 1時 2 8 解得x 8 1 x 8 綜上可知x 8 思想與方法系列 2 分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用 解析答案 解析由f f a 2f a 得 f a 1 當(dāng)a 1時 有3a 1 1 當(dāng)a 1時 有2a 1 a 0 a 1 解析答案 返回 溫馨提醒 溫馨提醒 返回 1 求分段函數(shù)的函數(shù)值 首先要確定自變量的范圍 然后選定相應(yīng)關(guān)系式代入求解 2 當(dāng)給出函數(shù)值或函數(shù)值的取值范圍求自變量的值或自變量的取值范圍時 應(yīng)根據(jù)每一段解析式分別求解 但要注意檢驗所求自變量的值或取值范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的值或取值范圍 3 當(dāng)自變量含參數(shù)或范圍不確定時 要根據(jù)定義域分成的不同子集進(jìn)行分類討論 思想方法感悟提高 1 在判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)時 要緊扣兩點 一是定義域是否相同 二是對應(yīng)法則是否相同 2 定義域優(yōu)先原則 函數(shù)定義域是研究函數(shù)的基礎(chǔ)依據(jù) 對函數(shù)性質(zhì)的討論 必須在定義域上進(jìn)行 3 函數(shù)解析式的幾種常用求法 待定系數(shù)法 換元法 配湊法 消去法 4 分段函數(shù)問題要分段求解 方法與技巧 1 復(fù)合函數(shù)f g x 的定義域也是解析式中x的范圍 不要和f x 的定義域相混 2 分段函數(shù)無論分成幾段 都是一個函數(shù) 求分段函數(shù)的函數(shù)值 如果自變量的范圍不確定 要分類討論 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析在 中 定義域不同 在 中 解析式不同 在 中 定義域不同 解析答案 解析M 1 1 N 1 故M RN 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析 2 0 f 2 10 2 f f 2 f 10 2 lg10 2 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解得0 x 1或x 0 x 1 x x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 f x log2x 解析根據(jù)題意知x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析 f 3 lg 3 2 1 lg10 1 f f 3 f 1 0 當(dāng)x 1時 f x lg x2 1 lg1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 當(dāng)且僅當(dāng)x 0時 取等號 此時f x min 0 9 已知f x 是二次函數(shù) 若f 0 0 且f x 1 f x x 1 求函數(shù)f x 的解析式 解設(shè)f x ax2 bx c a 0 又f 0 0 c 0 即f x ax2 bx 又 f x 1 f x x 1 a x 1 2 b x 1 ax2 bx x 1 2a b x a b b 1 x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 10 根據(jù)如圖所示的函數(shù)y f x 的圖象 寫出函數(shù)的解析式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解當(dāng) 3 x 1時 函數(shù)y f x 的圖象是一條線段 右端點除外 設(shè)f x ax b a 0 將點 3 1 1 2 代入 當(dāng) 1 x 1時 同理可設(shè)f x cx d c 0 將點 1 2 1 1 代入 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 當(dāng)1 x 2時 f x 1 0 3 所以ax2 2ax 3 0無實數(shù)解 即函數(shù)y ax2 2ax 3的圖象與x軸無交點 當(dāng)a 0時 則 2a 2 4 3a 0 解得0 a 3 綜上所述 a的取值范圍是 0 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 答案4028 f x f 1 x 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 滿足條件的整數(shù)數(shù)對有 2 0 2 1 2 2 0 2 1 2 共5個 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由題中定義可知A 2x 1 3等價于2 2x 1 3 0 A 1 1 1 若A 2x 1 3 則實數(shù)x的取值范圍是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 15 如圖1是某公共汽車線路收支差額y元與乘客量x的圖象 1 試說明圖1上點A 點B以及射線AB上的點的實際意義 解點A表示無人乘車時收支差額為 20元 點B表示有10人乘車時收支差額為0元 線段AB上的點表示虧損 AB延長線上的點表示贏利 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 由于目前本條線路虧損 公司有關(guān)人員提出了兩種扭虧為贏的建議 如圖2 3所示 你能根據(jù)圖象 說明這兩種建議的意義嗎 解圖2的建議是降低成本 票價不變 圖3的建議是提高票價 3 此問題中直線斜率的實際意義是什么 解斜率表示票價 4 圖1 圖2 圖3中的票價分別是多少元 解圖1 2中的票價是2元 圖3中的票價是4元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回