第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2 5指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 題型分類深度剖析 思想與方法系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 1 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 1 規(guī)定 正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 2 有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì) asat as t ab t 其中a 0 b 0 s t Q 0 沒有意義 as t ast atbt n N 且n 1 a 0 m 知識梳理 1 答案 2 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) R 答案 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 增函數(shù) 減函數(shù) 0 0 1 答案 答案 思考辨析 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 1 函數(shù)f x ax 1 a 0 且a 1 的圖象經(jīng)過定點坐標(biāo)為 解析令x 1 0得x 1 此時y a0 1 所以點 1 1 與a無關(guān) 所以函數(shù)f x ax 1 a 0 且a 1 的圖象過定點 1 1 1 1 解析函數(shù)f x 的圖象恒過 1 0 點 只有圖象 適合 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 3 lg100 3 2 1 1 4 若函數(shù)y a2 1 x在 上為減函數(shù) 則實數(shù)a的取值范圍是 解析由y a2 1 x在 上為減函數(shù) 得0 a2 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 5 函數(shù)y 8 23 x x 0 的值域是 解析 x 0 x 0 3 x 3 0 23 x 23 8 0 8 23 x 8 函數(shù)y 8 23 x的值域為 0 8 0 8 解析答案 1 2 3 4 5 返回 題型分類深度剖析 題型一指數(shù)冪的運算 例1化簡 1 解析答案 解析答案 思維升華 思維升華 1 指數(shù)冪的運算首先將根式 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 以便利用法則計算 還應(yīng)注意 必須同底數(shù)冪相乘 指數(shù)才能相加 運算的先后順序 2 當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時 先確定符號 再把底數(shù)化為正數(shù) 3 運算結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù) 也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù) 0 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 1 解析答案 題型二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 例2 1 函數(shù)f x ax b的圖象如圖所示 其中a b為常數(shù) 則下列結(jié)論正確的是 a 1 b1 b 0 00 0 a 1 b 0 解析答案 解析由f x ax b的圖象可以觀察出 函數(shù)f x ax b在定義域上單調(diào)遞減 所以0 a 1 函數(shù)f x ax b的圖象是在f x ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的 所以b 0 答案 2 若曲線 y 2x 1與直線y b沒有公共點 則b的取值范圍是 解析曲線 y 2x 1與直線y b的圖象如圖所示 由圖象可知 如果 y 2x 1與直線y b沒有公共點 則b應(yīng)滿足的條件是b 1 1 1 1 解析答案 思維升華 思維升華 1 已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點 判斷所給的圖象是否過這些點 若不滿足則排除 2 對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題 一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手 通過平移 伸縮 對稱變換而得到 特別地 當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論 3 有關(guān)指數(shù)方程 不等式問題的求解 往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象 數(shù)形結(jié)合求解 跟蹤訓(xùn)練2 解析答案 關(guān)于y軸對稱 關(guān)于x軸對稱 關(guān)于原點對稱 關(guān)于直線y x對稱 它與函數(shù)y 2x的圖象關(guān)于y軸對稱 2 已知函數(shù)f x 2x 1 af c f b 則下列結(jié)論中 一定成立的是 a0 2 a 2c 2a 2c 2 解析答案 解析作出函數(shù)f x 2x 1 的圖象 如圖 af c f b 結(jié)合圖象知00 0 2a 1 f a 2a 1 1 2a 1 f c 1 0 c 1 1 2c 2 解析答案 f c 2c 1 2c 1 又 f a f c 1 2a 2c 1 2a 2c 2 答案 題型三指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 命題點1比較指數(shù)式的大小 例3 1 下列各式比較大小正確的是 1 72 5 1 73 0 6 1 0 62 0 8 0 1 1 250 2 1 70 3 0 93 1 解析答案 解析 中 函數(shù)y 1 7x在R上是增函數(shù) 2 50 62 正確 中 0 8 1 1 25 問題轉(zhuǎn)化為比較1 250 1與1 250 2的大小 y 1 25x在R上是增函數(shù) 0 11 00 93 1 正確 答案 a c 故a c b a c b 2 設(shè)則a b c的大小關(guān)系是 解析答案 命題點2解簡單的指數(shù)方程或不等式 解析答案 所以a 3 此時 3 a 0 所以0 a 1 故a的取值范圍是 3 1 答案 3 1 命題點3和指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的性質(zhì) 例5設(shè)函數(shù)f x kax a x a 0且a 1 是定義域為R的奇函數(shù) 1 若f 1 0 試求不等式f x2 2x f x 4 0的解集 解析答案 因為f x axlna a xlna ax a x lna 0 所以f x 在R上為增函數(shù) 原不等式可化為f x2 2x f 4 x 所以x2 2x 4 x 即x2 3x 4 0 所以x 1或x1或x 4 解因為f x 是定義域為R的奇函數(shù) 所以f 0 0 所以k 1 0 即k 1 f x ax a x 又a 0且a 1 所以a 1 解析答案 思維升華 所以g x 22x 2 2x 4 2x 2 x 2x 2 x 2 4 2x 2 x 2 令t x 2x 2 x x 1 解析答案 則t x 在 1 為增函數(shù) 由 1 可知 思維升華 所以原函數(shù)為 t t2 4t 2 t 2 2 2 思維升華 思維升華 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用問題解題策略 1 比較大小問題 常利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及中間值 0或1 法 2 簡單的指數(shù)方程或不等式的求解問題 解決此類問題應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 要特別注意底數(shù)a的取值范圍 并在必要時進(jìn)行分類討論 3 解決指數(shù)函數(shù)的綜合問題時 要把指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)同函數(shù)的其他性質(zhì) 如奇偶性 周期性 相結(jié)合 同時要特別注意底數(shù)不確定時 對底數(shù)的分類討論 1 已知函數(shù)f x 2 2x m m為常數(shù) 若f x 在區(qū)間 2 上是增函數(shù) 則m的取值范圍是 解析令t 2x m 而y 2t為R上的增函數(shù) 所以要使函數(shù)f x 2 2x m 在 2 上單調(diào)遞增 所以m的取值范圍是 4 4 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 解析答案 返回 解析令t x2 2x 根據(jù)二次函數(shù)的圖象可求得t 1 即0 y 4 0 4 思想與方法系列 思想與方法系列 4 換元法在和指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)中的應(yīng)用 思維點撥 解析答案 當(dāng)t 8時 ymax 57 解析因為x 3 2 思維點撥根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 同增異減 進(jìn)行探求 解析設(shè)u x2 2x 1 又u x2 2x 1的增區(qū)間為 1 f x 的減區(qū)間為 1 1 2 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 函數(shù)的減區(qū)間即為函數(shù)u x2 2x 1的增區(qū)間 思維點撥 解析答案 返回 溫馨提醒 溫馨提醒 返回 1 解決和指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性或值域問題時 要熟練掌握指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 搞清復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu) 利用換元法轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的單調(diào)性或值域問題 2 換元過程中要注意 元 的取值范圍的變化 思想方法感悟提高 1 通過指數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題 可以先通過令x 1得到底數(shù)的值 再進(jìn)行比較 2 指數(shù)函數(shù)y ax a 0 a 1 的性質(zhì)和a的取值有關(guān) 一定要分清a 1與0 a 1 3 對與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的問題 要弄清復(fù)合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成 方法與技巧 1 恒成立問題一般與函數(shù)最值有關(guān) 要與方程有解區(qū)別開來 2 復(fù)合函數(shù)的問題 一定要注意函數(shù)的定義域 3 對可化為a2x b ax c 0或a2x b ax c 0 0 形式的方程或不等式 常借助換元法解決 但應(yīng)注意換元后 新元 的范圍 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由于log24 log27 log28 a b c a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 由于y 2x 4 在 2 上遞減 在 2 上遞增 所以f x 在 2 上遞增 在 2 上遞減 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 4 若關(guān)于x的方程 ax 1 2a a 0且a 1 有兩個不等實根 則a的取值范圍是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 當(dāng)a 1時 如圖 2 而y 2a 1不符合要求 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析方程 ax 1 2a a 0且a 1 有兩個實數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)y ax 1 與y 2a有兩個交點 當(dāng)0 a 1時 如圖 1 0 2a 1 解析原式 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由函數(shù)y ax b b 0 的圖象經(jīng)過點P 1 3 得a b 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 已知正數(shù)a滿足a2 2a 3 0 函數(shù)f x ax 若實數(shù)m n滿足f m f n 則m n的大小關(guān)系為 解析 a2 2a 3 0 a 3或a 1 舍 函數(shù)f x 3x在R上遞增 由f m f n 得m n m n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 所以g x g 0 0 所以g x g 0 0 所以函數(shù)g x 的最小值是0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 所以f x 在 2 上單調(diào)遞減 在 2 上單調(diào)遞增 即函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 2 單調(diào)遞減區(qū)間是 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 令g x x2 4x 3 由于g x 在 2 上單調(diào)遞增 在 2 上單調(diào)遞減 2 若f x 有最大值3 求a的值 由于f x 有最大值3 所以g x 應(yīng)有最小值 1 即當(dāng)f x 有最大值3時 a的值為1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 10 已知函數(shù)f x ex e x x R 且e為自然對數(shù)的底數(shù) 1 判斷函數(shù)f x 的單調(diào)性與奇偶性 f x 0對任意x R都成立 f x 在R上是增函數(shù) f x 的定義域為R 且f x e x ex f x f x 是奇函數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 是否存在實數(shù)t 使不等式f x t f x2 t2 0對一切x R都成立 若存在 求出t 若不存在 請說明理由 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解存在 由 1 知f x 在R上是增函數(shù)和奇函數(shù) 則f x t f x2 t2 0對一切x R都成立 f x2 t2 f t x 對一切x R都成立 x2 t2 t x對一切x R都成立 11 函數(shù)f x a x 1 a 0 a 1 的值域為 1 則f 4 與f 1 的大小關(guān)系是 解析由題意知a 1 f 4 a3 f 1 a2 由單調(diào)性知a3 a2 f 4 f 1 f 4 f 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 符合要求 答案 解析由題意 得x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 14 當(dāng)x 1 時 不等式 m2 m 4x 2x 0恒成立 則實數(shù)m的取值范圍是 1 2 解得 1 m 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 求函數(shù)f x 在 1 1 上的解析式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解 f x 是x R上的奇函數(shù) f 0 0 設(shè)x 1 0 則 x 0 1 2 判斷f x 在 0 1 上的單調(diào)性 0 x1 x2 1 解設(shè)0 x1 x2 1 f x1 f x2 0 f x 在 0 1 上為減函數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 當(dāng) 取何值時 方程f x 在 1 1 上有實數(shù)解 解 f x 在 0 1 上為減函數(shù) 或 0時 方程f x 在x 1 1 上有實數(shù)解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回