第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2 7函數(shù)的圖象 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 題型分類深度剖析 高頻小考點(diǎn) 思想方法感悟提高 練出高分 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 1 描點(diǎn)法作圖方法步驟 1 確定函數(shù)的定義域 2 化簡函數(shù)的解析式 3 討論函數(shù)的性質(zhì)即奇偶性 周期性 單調(diào)性 最值 甚至變化趨勢 4 描點(diǎn)連線 畫出函數(shù)的圖象 知識梳理 1 2 圖象變換 1 平移變換 f x k f x h f x h f x k 答案 f x f x f x logax a 0且a 1 f x 答案 f x f ax af x 答案 判斷下面結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 當(dāng)x 0 時 函數(shù)y f x 與y f x 的圖象相同 2 函數(shù)y af x 與y f ax a 0且a 1 的圖象相同 3 函數(shù)y f x 與y f x 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 4 若函數(shù)y f x 滿足f 1 x f 1 x 則函數(shù)f x 的圖象關(guān)于直線x 1對稱 5 將函數(shù)y f x 的圖象向右平移1個單位得到函數(shù)y f x 1 的圖象 答案 思考辨析 考點(diǎn)自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 解析因為函數(shù)f x 是奇函數(shù) 所以排除 答案 解析答案 1 2 3 4 5 2 函數(shù)f x 的圖象向右平移1個單位長度 所得圖象與曲線y ex關(guān)于y軸對稱 則f x 的解析式為 解析與y ex圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為y e x 依題意 f x 圖象向右平移一個單位 得y e x的圖象 f x 的圖象由y e x的圖象向左平移一個單位得到 f x e x 1 e x 1 f x e x 1 解析答案 1 2 3 4 5 答案 1 2 3 4 5 右 2 4 若關(guān)于x的方程 x a x只有一個解 則實數(shù)a的取值范圍是 解析由題意a x x 0 故要使a x x只有一解則a 0 解析答案 1 2 3 4 5 解析當(dāng)x 0時 0 2x 1 所以由圖象可知要使方程f x a 0有兩個實根 即函數(shù)y f x 與y a的圖象有兩個交點(diǎn) 所以由圖象可知0 a 1 0 1 解析答案 1 2 3 4 5 返回 題型分類深度剖析 題型一作函數(shù)的圖象 作出圖象如圖1 解析答案 將其圖象向右平移1個單位 再向上平移1個單位 解析答案 3 y x2 2 x 1 解析答案 作函數(shù)y x2 2x 1 的圖象 引申探究 解析答案 思維升華 思維升華 作出下列函數(shù)的圖象 1 y x 2 x 1 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 解當(dāng)x 2 即x 2 0時 解析答案 這是分段函數(shù) 每段函數(shù)的圖象可根據(jù)二次函數(shù)圖象作出 如圖 解析答案 題型二識圖與辨圖 例2 1 2015 課標(biāo)全國 改編 如圖 長方形ABCD的邊AB 2 BC 1 O是AB的中點(diǎn) 點(diǎn)P沿著邊BC CD與DA運(yùn)動 記 BOP x 將動點(diǎn)P到A B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f x 則y f x 的圖象大致為 填序號 解析答案 在Rt POB中 PB OBtan POB tanx 解析答案 綜上 故 正確 答案 2 已知定義在區(qū)間 0 2 上的函數(shù)y f x 的圖象如圖所示 則y f 2 x 的圖象為 填序號 解析答案 思維升華 當(dāng)x 0 2 時 2 x 0 2 解析答案 思維升華 方法二當(dāng)x 0時 f 2 x f 2 1 當(dāng)x 1時 f 2 x f 1 1 觀察各圖 可知 正確 答案 思維升華 思維升華 函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手 1 從函數(shù)的定義域 判斷圖象的左右位置 從函數(shù)的值域 判斷圖象的上下位置 2 從函數(shù)的單調(diào)性 判斷圖象的變化趨勢 3 從函數(shù)的奇偶性 判斷圖象的對稱性 4 從函數(shù)的周期性 判斷圖象的循環(huán)往復(fù) 5 從函數(shù)的特征點(diǎn) 排除不合要求的圖象 跟蹤訓(xùn)練2 解析答案 f x f x f x 為奇函數(shù) 排除 故 正確 答案 解析答案 2 現(xiàn)有四個函數(shù) y xsinx y xcosx y x cosx y x 2x的圖象 部分 如下 但順序被打亂 則按照從左到右將圖象對應(yīng)的函數(shù)序號正確的排列應(yīng)為 解析由于函數(shù)y xsinx是偶函數(shù) 由圖象知 函數(shù) 對應(yīng)第一個圖象 函數(shù)y xcosx是奇函數(shù) 且當(dāng)x 時 y 0 故函數(shù) 對應(yīng)第三個圖象 函數(shù)y x cosx 為奇函數(shù) 故函數(shù) 與第四個圖象對應(yīng) 函數(shù)y x 2x為非奇非偶函數(shù) 與第二個圖象對應(yīng) 綜上可知 正確排序為 答案 題型三函數(shù)圖象的應(yīng)用 例3 1 2015 安徽 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 若直線y 2a與函數(shù)y x a 1的圖象只有一個交點(diǎn) 則a的值為 解析 x a 0恒成立 要使y 2a與y x a 1只有一個交點(diǎn) 必有2a 1 解析答案 解析作出函數(shù)的圖象 直線y m交函數(shù)圖象如圖 不妨設(shè)a b c 由正弦曲線的對稱性 因此a b 1 當(dāng)直線y m 1時 由log2015x 1 解得x 2015 若滿足f a f b f c 且a b c互不相等 由a b c可得1 c 2015 因此可得2 a b c 2016 即a b c 2 2016 2 2016 解析答案 思維升華 思維升華 1 利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)對于已知或易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù) 其性質(zhì) 單調(diào)性 奇偶性 周期性 最值 值域 零點(diǎn) 常借助于圖象研究 但一定要注意性質(zhì)與圖象特征的對應(yīng)法則 2 利用函數(shù)的圖象可解決某些方程和不等式的求解問題 方程f x g x 的根就是函數(shù)f x 與g x 圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 不等式f x g x 的解集是函數(shù)f x 的圖象位于g x 圖象下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合 體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 在 1 1 上單調(diào)遞增 在 0 1 上單調(diào)遞減 在 1 3 上單調(diào)遞增 在 5 7 上單調(diào)遞增 在 3 5 上單調(diào)遞增 解析由題圖可知 f 0 f 3 f 6 0 故排除 故 正確 答案 解析答案 2 若關(guān)于x的不等式2 x2 x a 至少有一個負(fù)數(shù)解 則實數(shù)a的取值范圍是 返回 返回 解析在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f x 2 x2 g x x a 的圖象 如圖所示 若a 0 則其臨界情況為折線g x x a 與拋物線f x 2 x2相切 由2 x2 x a可得x2 x a 2 0 由 1 4 a 2 0 若a 0 則其臨界情況為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)為 0 2 此時a 2 高頻小考點(diǎn) 一 已知函數(shù)解析式確定函數(shù)圖象典例函數(shù)f x 2x sinx的部分圖象可能是 思維點(diǎn)撥根據(jù)函數(shù)的定義域 值域 單調(diào)性 奇偶性和特征點(diǎn)確定函數(shù)圖象 高頻小考點(diǎn) 3 高考中的函數(shù)圖象及應(yīng)用問題 思維點(diǎn)撥 解析答案 溫馨提醒 解析方法一 f x 2x sinx f x f x 為奇函數(shù) 排除 故 正確 方法二 f x 2 cosx 0 f x 為增函數(shù) 故 正確 答案 溫馨提醒 1 確定函數(shù)的圖象 要從函數(shù)的性質(zhì)出發(fā) 利用數(shù)形結(jié)合的思想 2 對于給出圖象的選擇性題目 可以結(jié)合函數(shù)的某一性質(zhì)或特殊點(diǎn)進(jìn)行排除 溫馨提醒 二 函數(shù)圖象的變換問題典例若函數(shù)y f x 的圖象如圖所示 則函數(shù)y f x 1 的圖象大致為 填序號 思維點(diǎn)撥從y f x 的圖象可先得到y(tǒng) f x 的圖象 再得y f x 1 的圖象 思維點(diǎn)撥 解析答案 溫馨提醒 解析要想由y f x 的圖象得到y(tǒng) f x 1 的圖象 需要先將y f x 的圖象關(guān)于x軸對稱得到y(tǒng) f x 的圖象 然后再向左平移一個單位得到y(tǒng) f x 1 的圖象 根據(jù)上述步驟可知 正確 答案 溫馨提醒 溫馨提醒 1 對圖象的變換問題 從f x 到f ax b 可以先進(jìn)行平移變換 也可以先進(jìn)行伸縮變換 要注意變換過程中兩者的區(qū)別 2 圖象變換也可利用特征點(diǎn)的變換進(jìn)行確定 三 函數(shù)圖象的應(yīng)用典例 1 已知函數(shù)f x x x 2x 則下列有關(guān)f x 的性質(zhì)正確的是 f x 是偶函數(shù) 遞增區(qū)間是 0 f x 是偶函數(shù) 遞減區(qū)間是 1 f x 是奇函數(shù) 遞減區(qū)間是 1 1 f x 是奇函數(shù) 遞增區(qū)間是 0 思維點(diǎn)撥畫出函數(shù)f x 的圖象觀察 解析答案 思維點(diǎn)撥 畫出函數(shù)f x 的圖象 如圖 觀察得到 f x 為奇函數(shù) 遞減區(qū)間是 1 1 答案 2 設(shè)函數(shù)f x x a g x x 1 對于任意的x R 不等式f x g x 恒成立 則實數(shù)a的取值范圍是 思維點(diǎn)撥利用函數(shù)f x g x 圖象的位置確定a的范圍 解析答案 思維點(diǎn)撥 溫馨提醒 返回 觀察圖象可知 當(dāng)且僅當(dāng) a 1 即a 1時 不等式f x g x 恒成立 因此a的取值范圍是 1 答案 1 解析如圖 作出函數(shù)f x x a 與g x x 1的圖象 溫馨提醒 溫馨提醒 返回 1 本題求解利用了數(shù)形結(jié)合的思想 數(shù)形結(jié)合的思想包括 以形助數(shù) 或 以數(shù)輔形 兩個方面 本題屬于 以形助數(shù) 是指把某些抽象的問題直觀化 生動化 能夠變抽象思維為形象思維 解釋數(shù)學(xué)問題的本質(zhì) 2 利用函數(shù)圖象也可以確定不等式解的情況 解題時可對方程或不等式適當(dāng)變形 選擇合適的函數(shù)進(jìn)行作圖 思想方法感悟提高 1 列表描點(diǎn)法是作函數(shù)圖象的輔助手段 要作函數(shù)圖象首先要明確函數(shù)圖象的位置和形狀 1 可通過研究函數(shù)的性質(zhì)如定義域 值域 奇偶性 周期性 單調(diào)性等 2 可通過函數(shù)圖象的變換如平移變換 對稱變換 伸縮變換等 2 合理處理識圖題與用圖題 1 識圖對于給定函數(shù)的圖象 要從圖象的左右 上下分布范圍 變化趨勢 對稱性等方面研究函數(shù)的定義域 值域 單調(diào)性 奇偶性 周期性 注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系 方法與技巧 2 用圖函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì) 為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了 形 的直觀性 它是探求解題途徑 獲得問題結(jié)果的重要工具 要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法 常用函數(shù)圖象研究含參數(shù)的方程或不等式解集的情況 方法與技巧 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析當(dāng)x 0時 函數(shù)的圖象是拋物線 當(dāng)x 0時 只需把y 2x的圖象在y軸右側(cè)的部分向下平移1個單位即可 故 正確 2 為了得到函數(shù)y 2x 3 1的圖象 只需把函數(shù)y 2x的圖象上所有的點(diǎn)向 平移 個單位長度 再向 平移 個單位長度 右 3 下 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析先在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出函數(shù)y f x 的圖象 再將函數(shù)y f x 的圖象向右平移1個單位長度即可得到y(tǒng) f x 1 的圖象 因此 正確 作函數(shù)y f x 的圖象關(guān)于y軸的對稱圖形 即可得到y(tǒng) f x 的圖象 因此 正確 y f x 的值域是 0 2 因此y f x 的圖象與y f x 的圖象重合 正確 y f x 的定義域是 1 1 且是一個偶函數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 因此 不正確 綜上所述 正確 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 已知函數(shù)f x x 2 1 g x kx 若方程f x g x 有兩個不相等的實根 則實數(shù)k的取值范圍是 解析先作出函數(shù)f x x 2 1的圖象 如圖所示 當(dāng)直線g x kx與直線AB平行時斜率為1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 5 2015 北京改編 如圖 函數(shù)f x 的圖象為折線ACB 則不等式f x log2 x 1 的解集是 解析令g x y log2 x 1 作出函數(shù)g x 的圖象如圖 結(jié)合圖象知不等式f x log2 x 1 的解集為 x 1 x 1 x 1 x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析當(dāng)f x 0時 函數(shù)有意義 由函數(shù)f x 的圖象知滿足f x 0的x 2 8 6 已知函數(shù)f x 的圖象如圖所示 則函數(shù)的定義域是 2 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 7 用min a b c 表示a b c三個數(shù)中的最小值 設(shè)f x min 2x x 2 10 x x 0 則f x 的最大值為 解析f x min 2x x 2 10 x x 0 的圖象如圖 令x 2 10 x 得x 4 當(dāng)x 4時 f x 取最大值 f 4 6 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 8 設(shè)f x lg x 1 若0 a b 且f a f b 則ab的取值范圍是 解析由于函數(shù)f x lg x 1 的圖象如圖所示 由f a f b 可得 lg a 1 lg b 1 4 圖象如圖所示 1 畫出f x 的草圖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 指出f x 的單調(diào)區(qū)間 解由圖象可以看出 函數(shù)f x 有兩個單調(diào)遞增區(qū)間 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 10 已知函數(shù)f x x2 4x 3 1 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 并指出其增減性 函數(shù)的增區(qū)間為 1 2 3 函數(shù)的減區(qū)間為 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 求集合M m 使方程f x m有四個不相等的實根 解在同一坐標(biāo)系中作出y f x 和y m的圖象 使兩函數(shù)圖象有四個不同的交點(diǎn) 如圖 由圖知0 m 1 M m 0 m 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 11 函數(shù)y f x 的圖象如圖所示 則函數(shù)圖象大致是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由函數(shù)y f x 的圖象知 當(dāng)x 0 2 時 f x 1 所以 0 又函數(shù)f x 在 0 1 上是減函數(shù) 在 1 2 上是增函數(shù) 所以在 0 1 上是增函數(shù) 在 1 2 上是減函數(shù) 結(jié)合各圖象知 正確 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析函數(shù)定義域為 x x c 結(jié)合圖象知 c 0 c 0 a 0 答案 又由圖象知f 0 0 b 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 13 設(shè)函數(shù)y f x 1 是定義在 0 0 上的偶函數(shù) 在區(qū)間 0 上是減函數(shù) 且圖象過點(diǎn) 1 0 則不等式 x 1 f x 0的解集為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 由圖可知符合條件的解集為 0 1 2 答案 0 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析y f x 1 向右平移1個單位得到y(tǒng) f x 的圖象 由已知可得f x 的圖象的對稱軸為x 1 過定點(diǎn) 2 0 且函數(shù)在 1 上遞減 在 1 上遞增 則f x 的大致圖象如圖所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析畫出分段函數(shù)f x 的圖象如圖所示 結(jié)合圖象可以看出 若f x k有兩個不同的實根 也即函數(shù)y f x 的圖象與y k有兩個不同的交點(diǎn) 故k的取值范圍為 0 1 答案 0 1 15 給出下列命題 在區(qū)間 0 上 函數(shù)y x 1 y x 1 2 y x3中有三個是增函數(shù) 若logm3 logn3 0 則0 n m 1 若函數(shù)f x 是奇函數(shù) 則f x 1 的圖象關(guān)于點(diǎn) 1 0 對稱 若函數(shù)f x 3x 2x 3 則方程f x 0有兩個實數(shù)根 其中正確的命題是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 即log3n log3m 0 所以0 n m 1 所以 正確 易知 正確 對于 方程f x 0即為3x 2x 3 0 變形得3x 2x 3 令y1 3x y2 2x 3 在同一坐標(biāo)系中作出這兩個函數(shù)的圖象 如圖 由圖象可知 兩個函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn) 所以 正確 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 解析對于 在區(qū)間 0 上 只有y x3是增函數(shù) 所以 錯誤