第二章函數(shù)與基本初等函數(shù) 1 理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì) 知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù) 2 理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念 理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 請(qǐng)注意關(guān)于對(duì)數(shù)的運(yùn)算近兩年新課標(biāo)高考卷沒(méi)有單獨(dú)命題考查 都是結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行 有關(guān)指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)的試題每年必考 有選擇題 填空題 又有解答題 且綜合能力較高 1 對(duì)數(shù) 1 對(duì)數(shù)的定義 如果a a 0 a 1 的b次冪等于N 即 那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù) 記作 2 對(duì)數(shù)恒等式 alogaN a 0且a 1 N 0 logaab a 0且a 1 b R ab N logaN b N b 3 對(duì)數(shù)運(yùn)算法則 a 0且a 1 M 0 N 0 loga M N logaMn logaM logaN logaM logaN nlogaM 1 logac logab 2 對(duì)數(shù)函數(shù) 1 對(duì)數(shù)函數(shù)的概念 函數(shù)y logax a 0且a 1 叫做對(duì)數(shù)函數(shù) 2 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像 3 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 定義域?yàn)閤 值域?yàn)镽 恒過(guò)定點(diǎn) 1 0 a 1時(shí) y logax在 0 上為 01 x 1時(shí) logax0 當(dāng)a 1 01時(shí) logax0 0 增函數(shù) 減函數(shù) 1 課本習(xí)題改編 化簡(jiǎn)下列各式 1 log26 log23 2 lg5 lg20 3 log35 log345 答案 1 1 2 2 3 2 2 對(duì)于a 0且a 1 下列結(jié)論正確的是 若M N 則logaM logaN 若logaM logaN 則M N 若logaM2 logaN2 則M N 若M N 則logaM2 logaN2 A B C D 答案C解析若M N 0 則logaM logaN logaM2 logaN2無(wú)意義 若logaM2 logaN2 則M2 N2 即 M N 不正確 正確 3 設(shè)y loga x 2 a 0且a 1 當(dāng)a 時(shí)y為減函數(shù) 這時(shí)當(dāng)x 時(shí) y1 2 0 a 1 答案A 答案B 題型一對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值 探究1在對(duì)數(shù)運(yùn)算中 要注意以下幾個(gè)問(wèn)題 1 在化簡(jiǎn)與運(yùn)算中 一般先用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形 化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式 使冪的底數(shù)最簡(jiǎn) 然后再運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并 2 ab N b logaN a 0 且a 1 是解決有關(guān)指數(shù) 對(duì)數(shù)問(wèn)題的有效方法 在運(yùn)算中要注意互化 解析 原式 1 3 lg3 2 lg300 2 2 lg3 lg3 2 6 答案 6 思考題1 答案 15 講評(píng) 遇到冪的乘積求值時(shí) 取對(duì)數(shù) 也是一種有效的方法 3 log32 log92 log43 log83 題型二利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小 3 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 00 01 而0 9 0 5 10 9 1 即n 1 由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 01 log0 95 1 0 即p 0 綜上 p m n 探究2 1 比較兩個(gè)指數(shù)冪或?qū)?shù)值大小的方法 分清是底數(shù)相同還是指數(shù) 真數(shù) 相同 利用指數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性或圖像比較大小 當(dāng)?shù)讛?shù) 指數(shù) 真數(shù) 均不相同時(shí) 可通過(guò)中間量過(guò)渡處理 2 多個(gè)指數(shù)冪或?qū)?shù)值比較大小時(shí) 可對(duì)它們先進(jìn)行0 1分類 然后在每一類中比較大小 1 已知a log23 6 b log43 2 c log43 6 則 A a b cB a c bC b a cD c a b 解析 a log23 6 log43 62 log412 96 y log4x是單調(diào)遞增函數(shù) 而3 2c b 故選B 答案 B 思考題2 2 若loga 3 a 1B ab 1D ba 選A 答案 A 例3 1 作出函數(shù)y log2 x 1 的圖像 由圖像指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 并說(shuō)明它的圖像可由函數(shù)y log2x的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到 題型三對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像 解析 作出函數(shù)y log2x的圖像 將其關(guān)于y軸對(duì)稱得到函數(shù)y log2 x 的圖像 再將圖像向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度就得到函數(shù)y log2 x 1 的圖像 如圖所示 由圖知 函數(shù)y log2 x 1 的遞減區(qū)間為 1 遞增區(qū)間為 1 答案 略 解析 設(shè)f1 x x 1 2 f2 x logax 要使當(dāng)x 1 2 時(shí) 不等式 x 1 21時(shí) 如圖 要使在 1 2 上 f1 x x 1 2的圖像在f2 x logax的下方 只需f1 2 f2 2 即 2 1 2 loga2 loga2 1 1 a 2 答案 C 探究3 1 作一些復(fù)雜函數(shù)的圖像 首先應(yīng)分析它可以從哪一個(gè)基本函數(shù)的圖像變換過(guò)來(lái) 一般是先作出基本函數(shù)的圖像 通過(guò)平移 對(duì)稱 翻折等方法 得出所求函數(shù)的圖像 2 對(duì)于較復(fù)雜的不等式有解或恒成立問(wèn)題 可借助函數(shù)圖像解決 具體做法是 對(duì)不等式變形 不等號(hào)兩邊對(duì)應(yīng)兩函數(shù) 在同一坐標(biāo)系下作出兩函數(shù)圖像 比較當(dāng)x在某一范圍內(nèi)取值時(shí)圖像的上下位置及交點(diǎn)的個(gè)數(shù) 來(lái)確定參數(shù)的取值或解的情況 1 已知函數(shù)f x lgx g x lnx h x log3x 直線y a a 0 與這三個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x1 x2 x3 則x1 x2 x3的大小關(guān)系是 A x2 x3 x1B x1 x3 x2C x1 x2 x3D x3 x2 x1 答案 B 思考題3 答案 C 題型四綜合應(yīng)用 答案 1 單調(diào)遞增區(qū)間是 1 單調(diào)遞減區(qū)間是 3 2 a值不存在 探究4利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域和單調(diào)性問(wèn)題時(shí) 必須弄清三方面的問(wèn)題 一是定義域 所有問(wèn)題都必須在定義域內(nèi)討論 二是底數(shù)與1的大小關(guān)系 三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成 即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的 若函數(shù)f x loga ax 3 在 1 3 上單調(diào)遞增 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解析 由于a 0 且a 1 u ax 3為增函數(shù) 若函數(shù)f x 為增函數(shù) 則f x logau必為增函數(shù) 因此a 1 又u ax 3在 1 3 上恒為正 a 3 0 即a 3 答案 3 思考題4 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有重要位置 搞清這部分基礎(chǔ)知識(shí)相當(dāng)重要 1 搞清指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系 即二者互為反函數(shù) 因此 圖像關(guān)于直線y x對(duì)稱 它們?cè)诟髯缘亩x域內(nèi)增減性是一致的 即a 1時(shí)都為增函數(shù) 0 a 1時(shí)都為減函數(shù) 2 比較指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)類型的數(shù)值間的大小關(guān)系是高考中常見(jiàn)題型 具體做法是 底數(shù)相同指數(shù)不同時(shí) 要考慮指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 底 指數(shù)都不同時(shí)要借助于中間值 如0或1 再不行可考慮商值 或差值 比較法 對(duì)數(shù)函數(shù)型數(shù)值間的大小關(guān)系 底相同者考慮對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 底不同時(shí)可考慮中間值 如0或1 或用換底公式化為同底 最后可考慮比較法 答案B 2 2013 陜西文 設(shè)a b c均為不等于1的正實(shí)數(shù) 則下列等式中恒成立的是 A logab logcb logcaB logab logca logcbC loga bc logab logacD loga b c logab logac答案B 答案C 4 2013 新課標(biāo)全國(guó) 理 設(shè)a log36 b log510 c log714 則 A c b aB b c aC a c bD a b c答案D解析a log36 1 log32 b log510 1 log52 c log714 1 log72 則只要比較log32 log52 log72的大小即可 在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y log3x y log5x y log7x的圖像 由三個(gè)圖像的相對(duì)位置關(guān)系 可知a b c 故選D 5 2014 陜西 已知4a 2 lgx a 則x 答案logba