第2講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 最新考綱1 理解等差數(shù)列的概念 2 掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式 3 能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系 并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題 4 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系 知識(shí)梳理 1 等差數(shù)列的概念 1 如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起 每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于 那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列 這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的 公差通常用字母d表示 數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式 an 1 an d n N d為常數(shù) 或an an 1 d n 2 d為常數(shù) 2 若a A b成等差數(shù)列 則A叫做a b的等差中項(xiàng) 且A 同一個(gè)常數(shù) 公差 2 2 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式 a1 n 1 d n m d 3 等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì) 遞增 遞減 常數(shù)列 md 大 小 診斷自測(cè) 1 判斷正誤 在括號(hào)內(nèi)打 或 1 若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù) 則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列 2 數(shù)列 an 為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n N 都有2an 1 an an 2 3 等差數(shù)列 an 的單調(diào)性是由公差d決定的 4 數(shù)列 an 為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù) 5 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù) 答案A 答案B 答案C 5 2014 江西卷 在等差數(shù)列 an 中 a1 7 公差為d 前n項(xiàng)和為Sn 當(dāng)且僅當(dāng)n 8時(shí)Sn取得最大值 則d的取值范圍為 考點(diǎn)一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算 例1 1 設(shè)Sn為等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 S8 4a3 a7 2 則a9 A 6B 4C 2D 2 2 2016 唐山模擬 設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn S3 6 S4 12 則S6 解析 1 法一 常規(guī)解法 設(shè)公差為d 則8a1 28d 4a1 8d 即a1 5d a7 a1 6d 5d 6d d 2 所以a9 a7 2d 6 答案 1 A 2 30 規(guī)律方法 1 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1 an d n Sn 知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè) 體現(xiàn)了用方程的思想來(lái)解決問(wèn)題 2 數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用 而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量 用它們表示已知和未知是常用方法 答案 1 B 2 D 考點(diǎn)二等差數(shù)列的判定與證明 規(guī)律方法等差數(shù)列的判斷方法 1 定義法 對(duì)于n 2的任意自然數(shù) 驗(yàn)證an an 1為同一常數(shù) 2 等差中項(xiàng)法 驗(yàn)證2an 1 an an 2 n 3 n N 都成立 3 通項(xiàng)公式法 驗(yàn)證an pn q 4 前n項(xiàng)和公式法 驗(yàn)證Sn An2 Bn 后兩種方法只能用來(lái)判斷是否為等差數(shù)列 而不能用來(lái)證明等差數(shù)列 主要適合在選擇題中簡(jiǎn)單判斷 考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 答案 1 B 2 A 3 2016 解析 1 由a3 a6 a10 a13 32 得 a3 a13 a6 a10 32 得4a8 32 a8 8 m 8 故選A 2 S10 S20 S10 S30 S20成等差數(shù)列 2 S20 S10 S10 S30 S20 40 10 S30 30 S30 60 答案 1 A 2 60 考點(diǎn)四等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題 例4 2016 即墨一中模擬 已知等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)a1 0 設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn 且S5 S12 則當(dāng)n為何值時(shí) Sn有最大值 規(guī)律方法求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值 常用的方法 1 利用等差數(shù)列的單調(diào)性 求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng) 2 利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng) 便可求得和的最值 3 將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn An2 Bn A B為常數(shù) 看作二次函數(shù) 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值 解析 1 依題意得2a6 4 2a7 2 a6 2 0 a7 1 0 又?jǐn)?shù)列 an 是等差數(shù)列 因此在該數(shù)列中 前6項(xiàng)均為正數(shù) 自第7項(xiàng)起以后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù) 于是當(dāng)Sn取最大值時(shí) n 6 選B 2 由題意得S6 6a1 15d 5a1 10d 所以a6 0 故當(dāng)n 5或6時(shí) Sn最大 選C 3 因?yàn)榈炔顢?shù)列 an 的首項(xiàng)a1 20 公差d 2 代入求和公式得 答案 1 B 2 C 3 110 4 在遇到三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列問(wèn)題時(shí) 可設(shè)三個(gè)數(shù)為 1 a a d a 2d 2 a d a a d 3 a d a d a 3d等 可視具體情況而定 易錯(cuò)防范 1 當(dāng)公差d 0時(shí) 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù) 當(dāng)公差d 0時(shí) an為常數(shù) 2 公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù) 且常數(shù)項(xiàng)為0 若某數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)不為0的二次函數(shù) 則該數(shù)列不是等差數(shù)列