第3講等比數(shù)列及其前n項和 最新考綱1 理解等比數(shù)列的概念 掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式 2 能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關系 并能用有關知識解決相應的問題 3 了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系 知識梳理 1 等比數(shù)列的概念 1 如果一個數(shù)列從第項起 每一項與它的前一項的比等于非零常數(shù) 那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列 這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的 公比通常用字母q q 0 表示 2 同一個 公比 q 2 如果三個數(shù)a G b成等比數(shù)列 那么G叫做a與b的 其中G 等比中項 2 等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式 a1qn 1 3 等比數(shù)列的性質(zhì) 已知 an 是等比數(shù)列 Sn是數(shù)列 an 的前n項和 1 若k l m n k l m n N 則有ak al 2 等比數(shù)列 an 的單調(diào)性 當q 1 a1 0或0 q 1 a1 0時 數(shù)列 an 是數(shù)列 當q 1 a1 0或0 q 1 a1 0時 數(shù)列 an 是數(shù)列 當q 1時 數(shù)列 an 是 3 相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列 即ak ak m ak 2m 仍是等比數(shù)列 公比為 4 若 an bn 項數(shù)相同 是等比數(shù)列 則 an 0 a an bn 仍是等比數(shù)列 5 當q 1 或q 1且n為奇數(shù)時 Sn S2n Sn S3n S2n仍成等比數(shù)列 其公比為 am an 遞增 遞減 常數(shù)列 qm qn 診斷自測 1 判斷正誤 在括號內(nèi)打 或 D 答案C 4 2015 安徽卷 已知數(shù)列 an 是遞增的等比數(shù)列 a1 a4 9 a2a3 8 則數(shù)列 an 的前n項和等于 答案2n 1 5 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中 若a2 1 a8 a6 2a4 則a6的值是 解析因為a8 a2q6 a6 a2q4 a4 a2q2 所以由a8 a6 2a4得a2q6 a2q4 2a2q2 消去a2q2 得到關于q2的一元二次方程 q2 2 q2 2 0 解得q2 2 a6 a2q4 1 22 4 答案4 考點一等比數(shù)列基本量的運算 答案 1 B 2 B 3 28 規(guī)律方法等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題 數(shù)列中有五個量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通過列方程 組 便可迎刃而解 2 設等比數(shù)列 an 的公比為q q 0 依題意得a2 a1q q a3 a1q2 q2 S1 a1 1 S2 1 q S3 1 q q2 又3S1 2S2 S3成等差數(shù)列 所以4S2 3S1 S3 即4 1 q 3 1 q q2 所以q 3 q 0舍去 所以an a1qn 1 3n 1 答案 1 B 2 3n 1 考點二等比數(shù)列的性質(zhì)及應用 答案 1 B 2 B 規(guī)律方法 1 在解決等比數(shù)列的有關問題時 要注意挖掘隱含條件 利用性質(zhì) 特別是性質(zhì) 若m n p q 則am an ap aq 可以減少運算量 提高解題速度 2 在應用相應性質(zhì)解題時 要注意性質(zhì)成立的前提條件 有時需要進行適當變形 此外 解題時注意設而不求思想的運用 考點三等比數(shù)列的判定與證明 例3 2016 萊蕪模擬 已知數(shù)列 an 的前n項和為Sn 在數(shù)列 bn 中 b1 a1 bn an an 1 n 2 且an Sn n 1 設cn an 1 求證 cn 是等比數(shù)列 2 求數(shù)列 bn 的通項公式 1 證明 an Sn n an 1 Sn 1 n 1 得an 1 an an 1 1 2an 1 an 1 2 an 1 1 an 1 訓練3 2016 青島模擬 設數(shù)列 an 的前n項和為Sn 已知a1 1 Sn 1 4an 2 1 設bn an 1 2an 證明 數(shù)列 bn 是等比數(shù)列 2 求數(shù)列 an 的通項公式 3 在運用等比數(shù)列的前n項和公式時 必須注意對q 1與q 1分類討論 防止因忽略q 1這一特殊情形而導致解題失誤 4 Sn S2n Sn S3n S2n未必成等比數(shù)列 例如 當公比q 1且n為偶數(shù)時 Sn S2n Sn S3n S2n不成等比數(shù)列 當q 1或q 1且n為奇數(shù)時 Sn S2n Sn S3n S2n成等比數(shù)列 但等式 S2n Sn 2 Sn S3n S2n 總成立