第4講數(shù)列求和 最新考綱1 熟練掌握等差 等比數(shù)列的前n項和公式 2 掌握非等差數(shù)列 非等比數(shù)列求和的幾種常見方法 知識梳理 1 求數(shù)列的前n項和的方法 na1 2 分組轉化法把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項 使其轉化為幾個等差 等比數(shù)列 再求解 3 裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和 正負相消剩下首尾若干項 4 倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加 即等差數(shù)列求和公式的推導過程的推廣 5 錯位相減法主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項相乘所得的數(shù)列的求和 即等比數(shù)列求和公式的推導過程的推廣 6 并項求和法一個數(shù)列的前n項和中 可兩兩結合求解 則稱之為并項求和 形如an 1 nf n 類型 可采用兩項合并求解 例如 Sn 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5050 2 常見的裂項公式 診斷自測 1 判斷正誤 在括號內打 或 2 若數(shù)列 an 的通項公式為an 2n 2n 1 則數(shù)列 an 的前n項和為 A 2n n2 1B 2n 1 n2 1C 2n 1 n2 2D 2n n 2 答案C 3 數(shù)列 an 的前n項和為Sn 已知Sn 1 2 3 4 1 n 1 n 則S17 A 9B 8C 17D 16 解析S17 1 2 3 4 5 6 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 14 15 16 17 1 1 1 1 9 答案A 答案A 5 人教A必修5P61A4 3 改編 1 2x 3x2 nxn 1 x 0且x 1 考點一分組轉化法求和 答案 1 A 2 B 考點二裂項相消法求和 規(guī)律方法利用裂項相消法求和時 應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項 也有可能前面剩兩項 后面也剩兩項 再就是將通項公式裂項后 有時候需要調整前面的系數(shù) 使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等 當證明數(shù)列型的不等式時 應注意放縮法的應用 考點三錯位相減法求和 規(guī)律方法 1 一般地 如果數(shù)列 an 是等差數(shù)列 bn 是等比數(shù)列 求數(shù)列 an bn 的前n項和時 可采用錯位相減法求和 一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列 bn 的公比 然后作差求解 2 在寫出 Sn 與 qSn 的表達式時應特別注意將兩式 錯項對齊 以便下一步準確寫出 Sn qSn 的表達式 解 1 由已知 有 a3 a4 a2 a3 a4 a5 a3 a4 即a4 a2 a5 a3 所以a2 q 1 a3 q 1 又因為q 1 故a3 a2 2 由a3 a1q 得q 2 思想方法 非等差 等比數(shù)列的一般數(shù)列求和 主要有兩種思想 1 轉化的思想 即將一般數(shù)列設法轉化為等差或等比數(shù)列 這一思想方法往往通過通項分解或錯位相消來完成 2 不能轉化為等差或等比的特殊數(shù)列 往往通過裂項相消法 錯位相減法 倒序相加法等來求和 易錯防范 1 直接應用公式求和時 要注意公式的應用范圍 如當?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù) 字母 時 應對其公比是否為1進行討論 2 在應用錯位相減法時 要注意觀察未合并項的正負號 3 在應用裂項相消法時 要注意消項的規(guī)律具有對稱性 即前剩多少項則后剩多少項