第六章數(shù)列 6 2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 題型分類深度剖析 高頻小考點(diǎn) 思想方法感悟提高 練出高分 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 1 等差數(shù)列的定義一般地 如果一個(gè)數(shù)列 那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列 這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的 通常用字母表示 2 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)為a1 公差為d 那么它的通項(xiàng)公式是 從第二項(xiàng)起 每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差 an a1 都等于同一個(gè)常數(shù) 公差 d n 1 d 知識(shí)梳理 1 答案 3 等差中項(xiàng) 4 等差數(shù)列的常用性質(zhì) 1 通項(xiàng)公式的推廣 an am n m N 2 若 an 為等差數(shù)列 且k l m n k l m n N 則 3 若 an 是等差數(shù)列 公差為d 則 a2n 也是等差數(shù)列 公差為 4 若 an bn 是等差數(shù)列 則 pan qbn 也是等差數(shù)列 5 若 an 是等差數(shù)列 公差為d 則ak ak m ak 2m k m N 是公差為的等差數(shù)列 n m d ak al am an 2d md 答案 5 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 數(shù)列 an 是等差數(shù)列 Sn An2 Bn A B為常數(shù) 答案 7 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列 an 中 a1 0 d0 則Sn存在最 值 大 小 答案 判斷下面結(jié)論是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 或 1 若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù) 則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列 2 數(shù)列 an 為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n N 都有2an 1 an an 2 3 等差數(shù)列 an 的單調(diào)性是由公差d決定的 4 數(shù)列 an 為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù) 5 數(shù)列 an 滿足an 1 an n 則數(shù)列 an 是等差數(shù)列 6 已知數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式是an pn q 其中p q為常數(shù) 則數(shù)列 an 一定是等差數(shù)列 思考辨析 答案 1 設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 若a1 11 a4 a6 6 則當(dāng)Sn取最小值時(shí) n 解析設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d a1 a9 a4 a6 6 且a1 11 a9 5 從而d 2 Sn 11n n n 1 n2 12n 當(dāng)n 6時(shí) Sn取最小值 6 考點(diǎn)自測(cè) 2 解析答案 1 2 3 4 5 解析由已知得a1 2a1 14d 3a1 9d 解析答案 1 2 3 4 5 3 在等差數(shù)列 an 中 已知a4 a8 16 則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11 88 解析答案 1 2 3 4 5 4 設(shè)數(shù)列 an 是等差數(shù)列 若a3 a4 a5 12 則a1 a2 a7 解析 a3 a4 a5 3a4 12 a4 4 a1 a2 a7 7a4 28 28 解析答案 1 2 3 4 5 5 2014 北京 若等差數(shù)列 an 滿足a7 a8 a9 0 a7 a10 0 則當(dāng)n 時(shí) an 的前n項(xiàng)和最大 解析因?yàn)閿?shù)列 an 是等差數(shù)列 且a7 a8 a9 3a8 0 所以a8 0 又a7 a10 a8 a9 0 所以a9 0 故當(dāng)n 8時(shí) 其前n項(xiàng)和最大 8 解析答案 1 2 3 4 5 返回 題型分類深度剖析 例1 1 在數(shù)列 an 中 若a1 2 且對(duì)任意的n N 有2an 1 1 2an 則數(shù)列 an 前10項(xiàng)的和為 題型一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算 解析答案 2 已知在等差數(shù)列 an 中 a2 7 a4 15 則前10項(xiàng)和S10 解析因?yàn)閍2 7 a4 15 所以d 4 a1 3 210 解析答案 思維升華 思維升華 1 等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d 然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程 組 求解 2 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式 共涉及五個(gè)量a1 an d n Sn 知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè) 體現(xiàn)了方程的思想 1 2015 課標(biāo)全國(guó) 改編 設(shè)Sn是等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 若a1 a3 a5 3 則S5 解析 an 為等差數(shù)列 a1 a5 2a3 a1 a3 a5 3a3 3 得a3 1 5 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 數(shù)列 an 的公差為2 2 解析答案 題型二等差數(shù)列的判定與證明 1 求證 數(shù)列 bn 是等差數(shù)列 解析答案 2 求數(shù)列 an 中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng) 并說(shuō)明理由 所以當(dāng)n 3時(shí) an取得最小值 1 當(dāng)n 4時(shí) an取得最大值3 解析答案 解析答案 思維升華 引申探究 思維升華 等差數(shù)列的四個(gè)判定方法 1 定義法 證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an 1 an等于同一個(gè)常數(shù) 2 等差中項(xiàng)法 證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2an 1 an an 2后 可遞推得出an 2 an 1 an 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 根據(jù)定義得出數(shù)列 an 為等差數(shù)列 3 通項(xiàng)公式法 得出an pn q后 得an 1 an p對(duì)任意正整數(shù)n恒成立 根據(jù)定義判定數(shù)列 an 為等差數(shù)列 4 前n項(xiàng)和公式法 得出Sn An2 Bn后 根據(jù)Sn an的關(guān)系 得出an 再使用定義法證明數(shù)列 an 為等差數(shù)列 1 若 an 是公差為1的等差數(shù)列 則 a2n 1 2a2n 是 公差為3的等差數(shù)列 公差為4的等差數(shù)列 公差為6的等差數(shù)列 公差為9的等差數(shù)列 解析 a2n 1 2a2n a2n 3 2a2n 2 a2n 1 a2n 3 2 a2n a2n 2 2 2 2 6 a2n 1 2a2n 是公差為6的等差數(shù)列 跟蹤訓(xùn)練2 解析答案 解析答案 命題點(diǎn)1等差數(shù)列的性質(zhì) 例3 1 2015 廣東 在等差數(shù)列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 25 則a2 a8 解析因?yàn)?an 是等差數(shù)列 所以a3 a7 a4 a6 a2 a8 2a5 a3 a4 a5 a6 a7 5a5 25 即a5 5 a2 a8 2a5 10 10 題型三等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 解析答案 2 已知等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且S10 10 S20 30 則S30 解析 S10 S20 S10 S30 S20成等差數(shù)列 且S10 10 S20 30 S20 S10 20 S30 30 10 2 10 30 S30 60 60 解析答案 命題點(diǎn)2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值 例4在等差數(shù)列 an 中 已知a1 20 前n項(xiàng)和為Sn 且S10 S15 求當(dāng)n取何值時(shí) Sn取得最大值 并求出它的最大值 解析答案 解 a1 20 S10 S15 解析答案 得a13 0 即當(dāng)n 12時(shí) an 0 當(dāng)n 14時(shí) an 0 當(dāng)n 12或13時(shí) Sn取得最大值 解析答案 n N 當(dāng)n 12或13時(shí) Sn有最大值 且最大值為S12 S13 130 方法三由S10 S15得a11 a12 a13 a14 a15 0 5a13 0 即a13 0 當(dāng)n 12或13時(shí) Sn有最大值 且最大值為S12 S13 130 例4中 若條件 a1 20 改為a1 20 其他條件不變 求當(dāng)n取何值時(shí) Sn取得最小值 并求出最小值 解由S10 S15 得a11 a12 a13 a14 a15 0 a13 0 又a1 20 a120 當(dāng)n 12或13時(shí) Sn取得最小值 解析答案 思維升華 引申探究 思維升華 1 等差數(shù)列的性質(zhì) 項(xiàng)的性質(zhì) 在等差數(shù)列 an 中 am an m n d d m n 其幾何意義是點(diǎn) n an m am 所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差 和的性質(zhì) 在等差數(shù)列 an 中 Sn為其前n項(xiàng)和 則a S2n n a1 a2n n an an 1 b S2n 1 2n 1 an 2 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法 函數(shù)法 利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Sn an2 bn 通過(guò)配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解 1 等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 已知a5 a7 4 a6 a8 2 則當(dāng)Sn取最大值時(shí) n的值是 解析依題意得2a6 4 2a7 2 a6 2 0 a7 1 0 又?jǐn)?shù)列 an 是等差數(shù)列 因此在該數(shù)列中 前6項(xiàng)均為正數(shù) 自第7項(xiàng)起以后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù) 于是當(dāng)Sn取最大值時(shí) n 6 6 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 2 設(shè)數(shù)列 an 是公差d 0的等差數(shù)列 Sn為前n項(xiàng)和 若S6 5a1 10d 則Sn取最大值時(shí) n的值為 解析由題意得S6 6a1 15d 5a1 10d 所以a6 0 故當(dāng)n 5或6時(shí) Sn最大 5或6 解析答案 3 已知等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)a1 20 公差d 2 則前n項(xiàng)和Sn的最大值為 解析因?yàn)榈炔顢?shù)列 an 的首項(xiàng)a1 20 公差d 2 代入求和公式得 又因?yàn)閚 N 所以n 10或n 11時(shí) Sn取得最大值 最大值為110 110 解析答案 返回 高頻小考點(diǎn) 典例 1 在等差數(shù)列 an 中 2 a1 a3 a5 3 a7 a9 54 則此數(shù)列前10項(xiàng)的和S10 2 在等差數(shù)列 an 中 S10 100 S100 10 則S110 3 等差數(shù)列 an 中 已知a5 0 a4 a7 0 則 an 的前n項(xiàng)和Sn的最大值為 高頻小考點(diǎn) 6 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值 溫馨提醒 解析答案 返回 思維點(diǎn)撥 思維點(diǎn)撥 1 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和 可以通過(guò)求解基本量a1 d 代入前n項(xiàng)和公式計(jì)算 也可以利用等差數(shù)列的性質(zhì) a1 an a2 an 1 2 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值 可以將Sn化為關(guān)于n的二次函數(shù) 求二次函數(shù)的最值 也可以觀察等差數(shù)列的符號(hào)變化趨勢(shì) 找最后的非負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng) 溫馨提醒 解析答案 解析 1 由題意得a3 a8 9 2 方法一設(shè)數(shù)列 an 的公差為d 首項(xiàng)為a1 溫馨提醒 解析答案 所以a11 a100 2 所以Sn的最大值為S5 答案 1 45 2 110 3 S5 溫馨提醒 溫馨提醒 1 利用函數(shù)思想求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值時(shí) 要注意到n N 2 利用等差數(shù)列的性質(zhì)求Sn 突出了整體思想 減少了運(yùn)算量 返回 思想方法感悟提高 1 在解有關(guān)等差數(shù)列的基本量問(wèn)題時(shí) 可通過(guò)列關(guān)于a1 d的方程組進(jìn)行求解 2 證明等差數(shù)列要用定義 另外還可以用等差中項(xiàng)法 通項(xiàng)公式法 前n項(xiàng)和公式法判定一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列 3 等差數(shù)列性質(zhì)靈活使用 可以大大減少運(yùn)算量 4 在遇到三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列問(wèn)題時(shí) 可設(shè)三個(gè)數(shù)為 1 a a d a 2d 2 a d a a d 3 a d a d a 3d等 可視具體情況而定 方法與技巧 1 當(dāng)公差d 0時(shí) 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是n的一次函數(shù) 當(dāng)公差d 0時(shí) an為常數(shù) 2 公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是n的二次函數(shù) 且常數(shù)項(xiàng)為0 若某數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)不為0的二次函數(shù) 則該數(shù)列不是等差數(shù)列 它從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 若2a8 6 a11 則S9的值等于 解析根據(jù)題意及等差數(shù)列的性質(zhì) 知2a8 a11 a5 6 根據(jù)等差數(shù)列的求和公式 54 解析答案 2 2015 北京改編 設(shè) an 是等差數(shù)列 下列結(jié)論中正確的是 若a1 a2 0 則a2 a3 0 若a1 a3 0 則a1 a2 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若a1 0 則 a2 a1 a2 a3 d d d2 0 故 錯(cuò) 答案 解析設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 若a1 a2 0 a2 a3 a1 d a2 d a1 a2 2d 由于d正負(fù)不確定 因而a2 a3符號(hào)不確定 故 錯(cuò) 若a1 a3 0 a1 a2 a1 a3 d a1 a3 d 由于d正負(fù)不確定 因而a1 a2符號(hào)不確定 故 錯(cuò) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 若Sm 1 2 Sm 0 Sm 1 3 則m 解析 數(shù)列 an 為等差數(shù)列 且前n項(xiàng)和為Sn 解得m 5 經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解 5 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 數(shù)列 an 的首項(xiàng)為3 bn 為等差數(shù)列 且bn an 1 an n N 若b3 2 b10 12 則a8 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 6 21 2 0 又b1 b2 b7 a2 a1 a3 a2 a8 a7 a8 a1 a8 3 0 a8 3 答案3 解析設(shè) bn 的公差為d b10 b3 7d 12 2 14 d 2 b3 2 b1 b3 2d 2 4 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 已知數(shù)列 an 滿足an 1 an 且a1 5 設(shè) an 的前n項(xiàng)和為Sn 則使得Sn取得最大值的序號(hào)n的值為 該數(shù)列前7項(xiàng)是正數(shù)項(xiàng) 第8項(xiàng)是0 從第9項(xiàng)開(kāi)始是負(fù)數(shù)項(xiàng) 所以Sn取得最大值時(shí) n 7或8 7或8 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2d 1 d 2 4 解得d2 4 即d 2 由于該數(shù)列為遞增數(shù)列 故d 2 an 1 n 1 2 2n 1 2n 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 設(shè)數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an 2n 10 n N 則 a1 a2 a15 解析由an 2n 10 n N 知 an 是以 8為首項(xiàng) 2為公差的等差數(shù)列 又由an 2n 10 0得n 5 n 5時(shí) an 0 當(dāng)n 5時(shí) an 0 a1 a2 a15 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a15 20 110 130 130 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 證明當(dāng)n 2時(shí) 由an 2SnSn 1 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 等差數(shù)列 an 中 設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和 且a1 0 S3 S11 則當(dāng)n為多少時(shí) Sn最大 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法二由于Sn an2 bn是關(guān)于n的二次函數(shù) 由S3 S11 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解得6 5 n 7 5 故當(dāng)n 7時(shí) Sn最大 方法四由S3 S11 可得2a1 13d 0 即 a1 6d a1 7d 0 故a7 a8 0 又由a1 0 S3 S11可知d 0 所以a7 0 a8 0 所以當(dāng)n 7時(shí) Sn最大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Sn的最大值是S8 Sn的最小值是S8 Sn的最大值是S7 Sn的最小值是S7 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以a8 0 a7 0 即數(shù)列 an 前7項(xiàng)均小于0 第8項(xiàng)大于零 所以Sn的最小值為S7 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析 an bn 為等差數(shù)列 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由此解得 8 a 7 即實(shí)數(shù)a的取值范圍是 8 7 答案 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 已知公差大于零的等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且滿足a3 a4 117 a2 a5 22 1 求通項(xiàng)an 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以通項(xiàng)an 4n 3 又公差d 0 所以a3 a4 所以a3 9 a4 13 解因?yàn)閿?shù)列 an 為等差數(shù)列 所以a3 a4 a2 a5 22 又a3 a4 117 所以a3 a4是方程x2 22x 117 0的兩實(shí)根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求Sn的最小值 解由 1 知a1 1 d 4 所以當(dāng)n 1時(shí) Sn最小 最小值為S1 a1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解由 2 知Sn 2n2 n 因?yàn)閿?shù)列 bn 是等差數(shù)列 所以2b2 b1 b3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以2c2 c 0 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15