《數(shù)學(xué)第六章 數(shù)列 6.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 文 新人教B版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)第六章 數(shù)列 6.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 文 新人教B版（34頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、6 6. .3 3等比數(shù)列及其前等比數(shù)列及其前n n項(xiàng)和項(xiàng)和 -2-知識梳理雙基自測21自測點(diǎn)評31.等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)等比數(shù)列的定義一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于,那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的,公比通常用字母表示.數(shù)學(xué)語言表達(dá)式:(2)等比中項(xiàng)如果a,G,b組成等比數(shù)列,則G叫做a和b的等比中項(xiàng).即:G是a與b的等比中項(xiàng)a,G,b成等比數(shù)列.2 同一常數(shù) 公比 q(q0) G2=ab -3-知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評2132.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式(1)若等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公比是q,則其通項(xiàng)公式為an=;可推廣為an=.(

2、2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1;當(dāng)q1時(shí),a1qn-1 amqn-m -4-知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評2133.等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)已知an為等比數(shù)列,若k+l=m+n(k,l,m,nN+),則akal=;若m+n=2k,則aman=(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列,即ak,ak+m,ak+2m,仍是等比數(shù)列,公比為.(3)當(dāng)q-1,或q=-1且n為奇數(shù)時(shí),Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列,其公比為.(4)若an,bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列,則an(0),aman qm qn 2-5-知識梳理雙基自測3415自測點(diǎn)評1.下列結(jié)論正確的打“

3、”,錯(cuò)誤的打“”. (1)滿足an+1=qan(nN*,q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列. ()(2)G為a,b的等比中項(xiàng)G2=ab.()(3)等比數(shù)列中不存在數(shù)值為0的項(xiàng).()(4)若an為等比數(shù)列,bn=a2n-1+a2n,則數(shù)列bn也是等比數(shù)列.()(5)若數(shù)列an為等比數(shù)列,則數(shù)列l(wèi)n an是等差數(shù)列.()(6)若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=an,則其前n項(xiàng)和為 答案 答案關(guān)閉(1)(2)(3)(4)(5)(6) -6-知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評234152.我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了38

4、1盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈()A.1盞 B.3盞C.5盞 D.9盞 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-7-知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評234153.已知an為等差數(shù)列,公差為1,且a5是a3與a11的等比中項(xiàng),Sn是an的前n項(xiàng)和,則S12的值為()A.21 B.42C.63 D.54 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-8-知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評234154.在數(shù)列an中,a1=2,an+1=2an,Sn為an的前n項(xiàng)和.若Sn=126,則n=. 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-9-知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評234155.(2017北京朝陽二模)在等比數(shù)列an

5、中,已知a1=2,a4=-2,則an的通項(xiàng)公式an=. 答案解析解析關(guān)閉a1=2,a4=-2,則a4=-2=a1q3,q3=-1,q=-1,即an=2(-1)n-1. 答案解析關(guān)閉2(-1)n-1-10-知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評1.等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差可以為零,且等差中項(xiàng)唯一;而等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比均不為零,等比中項(xiàng)可以有兩個(gè)值.2.在等比數(shù)列中,由an+1=qan,q0,并不能立即判斷an為等比數(shù)列,還要驗(yàn)證a10;若aman=apaq,則m+n=p+q不一定成立,因?yàn)槌?shù)列也是等比數(shù)列,但若m+n=p+q,則有3.在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí),如果不能確定q與1的關(guān)系,必須分q=1和q1

6、兩種情況討論.-11-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例1(1)設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.已知a2a4=1,S3=7,則S5等于() 答案 答案關(guān)閉 (1)B(2)A(3)-8(2)(2017陜西咸陽二模)在等比數(shù)列an中,已知a3,a7是方程x2-6x+1=0的兩根,則a5=()A.1B.-1C.1 D.3(3)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4=.思考解決等比數(shù)列基本運(yùn)算問題的常見思想方法有哪些?-12-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-13-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常見思想方法(1)方程的思想:等比數(shù)列中有五個(gè)量a1,n,q,

7、an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)求基本量a1和q,問題可迎刃而解.(2)分類討論的思想:因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對公比q的分類討論,所以當(dāng)某一參數(shù)為公比進(jìn)行求和時(shí),就要對參數(shù)是否為1進(jìn)行分類求和.(3)整體思想:應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí),常把qn或 當(dāng)成整體進(jìn)行求解.-14-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)已知an為等比數(shù)列,a1=3,且4a1,2a2,a3成等差數(shù)列,則a3+a5等于()A.189 B.72C.60 D.33(2)已知an是等差數(shù)列,公差d不為零,前n項(xiàng)和是Sn,若a3,a4,a8成等比數(shù)列,則()A.a1d0,dS40B.a1d0,

8、dS40,dS40D.a1d0 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=1+an,其中0.(1)證明an是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;思考判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列有哪些方法?-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得1.證明數(shù)列an是等比數(shù)列常用的方法(2)等比中項(xiàng)法,證明 =an-1an+1;(3)通項(xiàng)公式法,若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an=cqn-1(c,q均是不為0的常數(shù),nN+),則an是等比數(shù)列.2.若判斷一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列,則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)

9、練對點(diǎn)訓(xùn)練2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,在數(shù)列bn中,b1=a1,bn=an-an-1(n2),且an+Sn=n.(1)設(shè)cn=an-1,求證:cn是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-20-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考向一等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例3(1)在由正數(shù)組成的等比數(shù)列an中,若a3a4a5=3,則sin(log3a1+log3a2+log3a7)的值為()(2)在正項(xiàng)等比數(shù)列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,則n=.思考用等比數(shù)列的哪些性質(zhì)能簡化解題過程? 答案 答案關(guān)閉 (

10、1)B(2)14 -22-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考向二等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用例4設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=3,S4=15,則S6=()A.31 B.32C.63 D.64思考本題應(yīng)用什么性質(zhì)求解比較簡便? 答案解析解析關(guān)閉S2=3,S4=15,由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì),得S2,S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列,(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故選C. 答案解析關(guān)閉C -24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得1.在解答等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí),為簡化解題過程常常利用等比數(shù)列的如下性質(zhì):(1

11、)通項(xiàng)公式的推廣:an=amqn-m;(2)等比中項(xiàng)的推廣與變形: =aman(m+n=2p)及akal=aman(k+l=m+n).2.對已知等比數(shù)列的前幾項(xiàng)和,求其前多少項(xiàng)和的問題,應(yīng)用公比不為-1的等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì):Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列比較簡便.-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)已知在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,a5a6=4,則數(shù)列l(wèi)og2an的前10項(xiàng)和為()A.5B.6C.10 D.12(2)已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)a1=-1,其前n項(xiàng)和為Sn,若 ,則公比q=. 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例5

12、(2017全國,文17)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求bn的通項(xiàng)公式;(2)若T3=21,求S3.思考解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題的基本思路是怎樣的? 答案 答案關(guān)閉-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題,涉及的知識面很寬,題目的變化也很多,但是萬變不離其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分運(yùn)用方程、函數(shù)、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法,合理調(diào)用相關(guān)知識,就不難解決這類問題.-28-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練4已知等差數(shù)列an滿足:a1=2,且a1,a2,a5成

13、等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,是否存在正整數(shù)n,使得Sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,說明理由. 解 (1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,依題意,2,2+d,2+4d成等比數(shù)列,故有(2+d)2=2(2+4d),化簡得d2-4d=0,解得d=0或d=4.當(dāng)d=0時(shí),an=2;當(dāng)d=4時(shí),an=2+(n-1)4=4n-2,從而得數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2或an=4n-2.-29-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(2)當(dāng)an=2時(shí),Sn=2n.顯然2n60n+800成立.當(dāng)an=4n-2時(shí),即n2-30n-4000,解得n40或n60n+800成立,n

14、的最小值為41.綜上,當(dāng)an=2時(shí),不存在滿足題意的n;當(dāng)an=4n-2時(shí),存在滿足題意的n,其最小值為41.-30-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)41.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題,數(shù)列中有五個(gè)量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)便可迎刃而解.2.判定等比數(shù)列的方法(1)定義法: (q是不為零的常數(shù),nN+)an是等比數(shù)列.(2)通項(xiàng)公式法:an=cqn-1(c,q均是不為零的常數(shù),nN+)an是等比數(shù)列.(3)等比中項(xiàng)法: =anan+2(anan+1an+20,nN+)an是等比數(shù)列.-31-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)43.求解等比數(shù)列問題常用的數(shù)學(xué)思

15、想(1)方程思想:如求等比數(shù)列中的基本量;(2)分類討論思想:如求和時(shí)要分q=1和q1兩種情況討論,判斷單調(diào)性時(shí)對a1與q分類討論.1.在等比數(shù)列中,易忽視每一項(xiàng)與公比都不為0.2.求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí),易忽略q=1這一特殊情形.-32-審題答題指導(dǎo)如何理解條件和轉(zhuǎn)化條件典例在等差數(shù)列an中,a3+a4+a5=84,a9=73.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)對任意mN+,將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項(xiàng)數(shù)記為bm,求數(shù)列bm的前m項(xiàng)和Sm.審題要點(diǎn)(1)題干中已知條件有三個(gè):“數(shù)列an是等差數(shù)列”和兩個(gè)等式;(2)第(2)問中所含條件可理解為:數(shù)列an的各項(xiàng)在所給區(qū)間的項(xiàng)數(shù)為bm;(3)第(2)問中條件的轉(zhuǎn)化方法:文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言,即求滿足9man92m的n的范圍.-33-解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由a3+a4+a5=84,可得3a4=84,即a4=28.而a9=73,則5d=a9-a4=45,即d=9.又a1=a4-3d=28-27=1,an=1+(n-1)9=9n-8,即an=9n-8.-34-反思提升本題第(2)問設(shè)置了落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)構(gòu)成新數(shù)列,由通項(xiàng)公式及已知區(qū)間建立不等式求項(xiàng)數(shù),進(jìn)而得到所求數(shù)列bm的通項(xiàng)公式是解答該問題的核心與關(guān)鍵.