第十三章推理與證明 算法 復(fù)數(shù) 13 2直接證明與間接證明 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 題型分類(lèi)深度剖析 思想與方法系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 1 直接證明 1 綜合法 定義 從出發(fā) 以已知的定義 公理 定理為依據(jù) 逐步下推 直到推出要證明的結(jié)論為止 這種證明方法常稱(chēng)為綜合法 思維過(guò)程 由因?qū)Ч?已知條件 知識(shí)梳理 1 答案 2 分析法 定義 從出發(fā) 追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件 逐步上溯 直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實(shí)吻合為止 這種證明方法常稱(chēng)為分析法 思維過(guò)程 執(zhí)果索因 問(wèn)題的結(jié)論 答案 2 間接證明 1 反證法 假設(shè)原命題 即在原命題的條件下 結(jié)論不成立 經(jīng)過(guò)正確的推理 最后得出 因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤 從而證明的證明方法 2 反證法的步驟 反設(shè) 假設(shè)命題的結(jié)論不成立 即假定原結(jié)論的反面為真 歸謬 從反設(shè)和已知條件出發(fā) 經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理 得出矛盾結(jié)果 存真 由矛盾結(jié)果 斷定反設(shè)不真 從而肯定原結(jié)論成立 不成立 矛盾 原命題 成立 答案 判斷下面結(jié)論是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 或 1 綜合法是直接證明 分析法是間接證明 2 分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā) 逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件 3 用反證法證明結(jié)論 a b 時(shí) 應(yīng)假設(shè) a b 4 反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定 推出矛盾 5 在解決問(wèn)題時(shí) 常常用分析法尋找解題的思路與方法 再用綜合法展現(xiàn)解決問(wèn)題的過(guò)程 思考辨析 答案 1 已知點(diǎn)An n an 為函數(shù)y 圖象上的點(diǎn) Bn n bn 為函數(shù)y x圖象上的點(diǎn) 其中n N 設(shè)cn an bn 則cn與cn 1的大小關(guān)系為 則cn隨n的增大而減小 cn 1 cn cn 1 cn 考點(diǎn)自測(cè) 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 用反證法證明 若整系數(shù)一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 有有理數(shù)根 那么a b c中至少有一個(gè)是偶數(shù) 用反證法證明時(shí) 下列假設(shè)正確的是 假設(shè)a b c都是偶數(shù) 假設(shè)a b c都不是偶數(shù) 假設(shè)a b c至多有一個(gè)偶數(shù) 假設(shè)a b c至多有兩個(gè)偶數(shù) 解析 至少有一個(gè) 的否定為 都不是 故 正確 解析答案 1 2 3 4 5 3 要證a2 b2 1 a2b2 0只要證明 填正確的序號(hào) 2ab 1 a2b2 0 a2 1 b2 1 0 解析a2 b2 1 a2b2 0 a2 1 b2 1 0 解析答案 1 2 3 4 5 a 0 b 0且a b 解析答案 1 2 3 4 5 5 教材改編 在 ABC中 三個(gè)內(nèi)角A B C的對(duì)邊分別為a b c 且A B C成等差數(shù)列 a b c成等比數(shù)列 則 ABC的形狀為 三角形 解析由題意2B A C 由余弦定理得b2 a2 c2 2accosB a2 c2 ac a2 c2 2ac 0 即 a c 2 0 a c ABC為等邊三角形 等邊 1 2 3 4 5 解析答案 返回 題型分類(lèi)深度剖析 例1對(duì)于定義域?yàn)?0 1 的函數(shù)f x 如果同時(shí)滿足 對(duì)任意的x 0 1 總有f x 0 f 1 1 若x1 0 x2 0 x1 x2 1 都有f x1 x2 f x1 f x2 成立 則稱(chēng)函數(shù)f x 為理想函數(shù) 1 若函數(shù)f x 為理想函數(shù) 證明 f 0 0 證明取x1 x2 0 則x1 x2 0 1 f 0 0 f 0 f 0 f 0 0 又對(duì)任意的x 0 1 總有f x 0 f 0 0 于是f 0 0 題型一綜合法的應(yīng)用 解析答案 解析答案 思維升華 解對(duì)于f x 2x x 0 1 f 1 2不滿足新定義中的條件 f x 2x x 0 1 不是理想函數(shù) 對(duì)于f x x2 x 0 1 顯然f x 0 且f 1 1 任意的x1 x2 0 1 x1 x2 1 f x1 x2 f x1 f x2 即f x1 f x2 f x1 x2 f x x2 x 0 1 是理想函數(shù) 對(duì)任意的x1 x2 0 1 x1 x2 1 解析答案 思維升華 即f2 x1 x2 f x1 f x2 2 f x1 x2 f x1 f x2 不滿足條件 解析答案 思維升華 1 綜合法是 由因?qū)Ч?的證明方法 它是一種從已知到未知 從題設(shè)到結(jié)論 的邏輯推理方法 即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷 命題 出發(fā) 經(jīng)過(guò)一系列中間推理 最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實(shí)性 2 綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理 思維升華 設(shè)a b c均為正數(shù) 且a b c 1 證明 證明由a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ac得a2 b2 c2 ab bc ca 由題設(shè)知 a b c 2 1 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 解析答案 題型二分析法的應(yīng)用 解析答案 所以cosx1cosx2 0 sin x1 x2 0 1 cos x1 x2 0 解析答案 故只需證明1 cos x1 x2 2cosx1cosx2 即證1 cosx1cosx2 sinx1sinx2 2cosx1cosx2 即證cos x1 x2 1 引申探究 解析答案 思維升華 因此只要證明 x1 x2 x1 x2 即證明 因此只要證明 由于x1 x2 R時(shí) 由基本不等式知 顯然成立 故原結(jié)論成立 思維升華 1 逆向思考是用分析法證題的主要思想 通過(guò)反推 逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件 正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問(wèn)題順利獲解的關(guān)鍵 2 證明較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí) 可以采用兩頭湊的辦法 即通過(guò)分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià) 或充分 的中間結(jié)論 然后通過(guò)綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論 從而使原命題得證 思維升華 解析答案 跟蹤訓(xùn)練2 而上述不等式顯然成立 故原不等式成立 命題點(diǎn)1證明否定性命題 例3已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且滿足an Sn 2 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 解當(dāng)n 1時(shí) a1 S1 2a1 2 則a1 1 又an Sn 2 所以an 1 Sn 1 2 題型三反證法的應(yīng)用 解析答案 2 求證 數(shù)列 an 中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列 證明反證法 假設(shè)存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列 所以2 2r q 2r p 1 又因?yàn)閜 q r 且p q r N 所以r q r p N 所以 式左邊是偶數(shù) 右邊是奇數(shù) 等式不成立 所以假設(shè)不成立 原命題得證 解析答案 命題點(diǎn)2證明存在性問(wèn)題 例4若f x 的定義域?yàn)?a b 值域?yàn)?a b a b 則稱(chēng)函數(shù)f x 是 a b 上的 四維光軍 函數(shù) 解析答案 所以函數(shù)在區(qū)間 1 b 上單調(diào)遞增 由 四維光軍 函數(shù)的定義可知 g 1 1 g b b 因?yàn)閎 1 所以b 3 解得a b 這與已知矛盾 故不存在 解析答案 命題點(diǎn)3證明唯一性命題 例5已知M是由滿足下述條件的函數(shù)構(gòu)成的集合 對(duì)任意f x M 方程f x x 0有實(shí)數(shù)根 函數(shù)f x 的導(dǎo)數(shù)f x 滿足0 f x 1 解 當(dāng)x 0時(shí) f 0 0 所以方程f x x 0有實(shí)數(shù)根為0 解析答案 2 集合M中的元素f x 具有下面的性質(zhì) 若f x 的定義域?yàn)镈 則對(duì)于任意 m n D 都存在x0 m n 使得等式f n f m n m f x0 成立 試用這一性質(zhì)證明 方程f x x 0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 證明假設(shè)方程f x x 0存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根 則f 0 f 0 不妨設(shè) 根據(jù)題意存在c 滿足f f f c 因?yàn)閒 f 且 所以f c 1 與已知0 f x 1矛盾 又f x x 0有實(shí)數(shù)根 所以方程f x x 0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 解析答案 思維升華 應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題 一般有以下幾個(gè)步驟 第一步 分清命題 p q 的條件和結(jié)論 第二步 作出與命題結(jié)論q相反的假設(shè)綈q 第三步 由p和綈q出發(fā) 應(yīng)用正確的推理方法 推出矛盾結(jié)果 第四步 斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開(kāi)始所作的假設(shè)綈q不真 于是原結(jié)論q成立 從而間接地證明了命題p q為真 所說(shuō)的矛盾結(jié)果 通常是指推出的結(jié)果與已知公理 已知定義 已知定理或已知矛盾 與臨時(shí)假設(shè)矛盾以及自相矛盾等都是矛盾結(jié)果 思維升華 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 解析答案 返回 假設(shè)不成立 即數(shù)列 bn 中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列 返回 思想與方法系列 1 當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為 0 1 且四邊形OABC為菱形時(shí) 求AC的長(zhǎng) 2 當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時(shí) 證明 四邊形OABC不可能為菱形 思維點(diǎn)撥 1 根據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直平分及點(diǎn)B的坐標(biāo)設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo) 代入橢圓方程求得點(diǎn)A的坐標(biāo) 后求AC的長(zhǎng) 2 將直線方程代入橢圓方程求出AC的中點(diǎn)坐標(biāo) 即OB的中點(diǎn)坐標(biāo) 判斷直線AC與OB是否垂直 思想與方法系列 23 反證法在證明題中的應(yīng)用 解析答案 返回 溫馨提醒 思維點(diǎn)撥 規(guī)范解答 1 解因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形 則AC與OB相互垂直平分 由于O 0 0 B 0 1 2 證明假設(shè)四邊形OABC為菱形 因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn) 且AC OB 所以k 0 解析答案 溫馨提醒 設(shè)A x1 y1 C x2 y2 因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn) 且m 0 k 0 所以O(shè)ABC不是菱形 與假設(shè)矛盾 13分 所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí) 四邊形OABC不可能是菱形 14分 溫馨提醒 1 掌握反證法的證明思路及證題步驟 正確作出假設(shè)是反證法的基礎(chǔ) 應(yīng)用假設(shè)是反證法的基本手段 得到矛盾是反證法的目的 2 當(dāng)證明的結(jié)論和條件聯(lián)系不明顯 直接證明不清晰或正面證明分類(lèi)較多 而反面情況只有一種或較少時(shí) 常采用反證法 3 利用反證法證明時(shí) 一定要回到結(jié)論上去 返回 溫馨提醒 思想方法感悟提高 1 分析法的特點(diǎn) 從未知看需知 逐步靠攏已知 2 綜合法的特點(diǎn) 從已知看可知 逐步推出未知 3 分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn) 分析法思考起來(lái)比較自然 容易尋找到解題的思路和方法 缺點(diǎn)是思路逆行 敘述較繁 綜合法從條件推出結(jié)論 較簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題 但不便于思考 實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用 先用分析法探索證明途徑 然后再用綜合法敘述出來(lái) 方法與技巧 1 用分析法證明時(shí) 要注意書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性 常常用 要證 欲證 即證 只需證 等 逐步分析 直至一個(gè)明顯成立的結(jié)論 2 利用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí) 要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤 并用假設(shè)的命題進(jìn)行推理 如果沒(méi)有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果 其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 若a b R 則下面四個(gè)式子中恒成立的是 填序號(hào) lg 1 a2 0 a2 b2 2 a b 1 解析在 中 a2 b2 2 a b 1 a2 2a 1 b2 2b 1 a 1 2 b 1 2 0 a2 b2 2 a b 1 恒成立 解析答案 2 已知p3 q3 2 求證p q 2 用反證法證明時(shí) 可假設(shè)p q 2 已知a b R a b 1 求證方程x2 ax b 0的兩根的絕對(duì)值都小于1 用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的絕對(duì)值大于或等于1 即假設(shè) x1 1 以下正確的是 填字母 a 與 的假設(shè)都錯(cuò)誤b 與 的假設(shè)都正確c 的假設(shè)正確 的假設(shè)錯(cuò)誤d 的假設(shè)錯(cuò)誤 的假設(shè)正確 解析反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論 對(duì)于 其結(jié)論的反面是p q 2 所以 不正確 對(duì)于 其假設(shè)正確 d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 a b 0 a c 0 a b a c 0 a b a c 0 a c 2 ac0 a c 2a c 0 a c a b 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 P2 Q2 P Q P Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 5 設(shè)a b是兩個(gè)實(shí)數(shù) 給出下列條件 a b 1 a b 2 a b 2 a2 b2 2 ab 1 其中能推出 a b中至少有一個(gè)大于1 的條件是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 但a2 故 推不出 若a 2 b 3 則ab 1 故 推不出 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 對(duì)于 即a b 2 則a b中至少有一個(gè)大于1 反證法 假設(shè)a 1且b 1 則a b 2與a b 2矛盾 因此假設(shè)不成立 a b中至少有一個(gè)大于1 答案 6 用反證法證明命題 a b R ab可以被5整除 那么a b中至少有一個(gè)能被5整除 那么假設(shè)的內(nèi)容是 解析 至少有n個(gè) 的否定是 最多有n 1個(gè) 故應(yīng)假設(shè)a b中沒(méi)有一個(gè)能被5整除 a b中沒(méi)有一個(gè)能被5整除 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 8 若二次函數(shù)f x 4x2 2 p 2 x 2p2 p 1 在區(qū)間 1 1 內(nèi)至少存在一點(diǎn)c 使f c 0 則實(shí)數(shù)p的取值范圍是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 9 已知a b 0 求證 2a3 b3 2ab2 a2b 證明要證明2a3 b3 2ab2 a2b成立 只需證 2a3 b3 2ab2 a2b 0 即2a a2 b2 b a2 b2 0 即 a b a b 2a b 0 a b 0 a b 0 a b 0 2a b 0 從而 a b a b 2a b 0成立 2a3 b3 2ab2 a2b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 求證 SA 平面ABCD 證明由已知得SA2 AD2 SD2 SA AD 同理SA AB 又AB AD A SA 平面ABCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 在棱SC上是否存在異于S C的點(diǎn)F 使得BF 平面SAD 若存在 確定F點(diǎn)的位置 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 解假設(shè)在棱SC上存在異于S C的點(diǎn)F 使得BF 平面SAD BC AD BC 平面SAD BC 平面SAD 而B(niǎo)C BF B 平面FBC 平面SAD 這與平面SBC和平面SAD有公共點(diǎn)S矛盾 假設(shè)不成立 不存在這樣的點(diǎn)F 使得BF 平面SAD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 A B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 12 如果 A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于 A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值 則下列說(shuō)法正確的是 A1B1C1和 A2B2C2都是銳角三角形 A1B1C1和 A2B2C2都是鈍角三角形 A1B1C1是鈍角三角形 A2B2C2是銳角三角形 A1B1C1是銳角三角形 A2B2C2是鈍角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由條件知 A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0 則 A1B1C1是銳角三角形 假設(shè) A2B2C2是銳角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 這與三角形內(nèi)角和為180 相矛盾 所以假設(shè)不成立 又顯然 A2B2C2不是直角三角形 所以 A2B2C2是鈍角三角形 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析 f x sinx在區(qū)間 0 上是凸函數(shù) 且A B C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 已知二次函數(shù)f x ax2 bx c a 0 的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 若f c 0 且00 證明 f x 的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn) f x 0有兩個(gè)不等實(shí)根x1 x2 f c 0 x1 c是f x 0的根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 由00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 證明 20 c 0 b 1 又a 0 b 2 2 b 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 求數(shù)列 an bn 的通項(xiàng)公式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 證明 數(shù)列 bn 中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 證明用反證法證明 假設(shè)數(shù)列 bn 存在三項(xiàng)br bs bt r s t 按某種順序成等差數(shù)列 于是有br bs bt 則只能有2bs br bt成立 兩邊同乘以3t 121 r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 化簡(jiǎn)得3t r 2t r 2 2s r3t s 由于r s t 上式左邊為奇數(shù) 右邊為偶數(shù) 故上式不可能成立 導(dǎo)致矛盾 故數(shù)列 bn 中任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回