第十三章推理與證明 算法 復(fù)數(shù) 13 3數(shù)學(xué)歸納法 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 題型分類深度剖析 答題模板系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)歸納法一般地 對于某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題 有數(shù)學(xué)歸納法公理 1 如果當(dāng)n取 例如n0 1 2等 時(shí)結(jié)論正確 2 假設(shè)當(dāng)n k k N 且k n0 時(shí)結(jié)論正確 證明當(dāng)時(shí)命題也正確 那么 命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立 第一個(gè)值n0 n k 1 知識梳理 1 答案 判斷下面結(jié)論是否正確 請?jiān)诶ㄌ栔写?或 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí) 第一步是驗(yàn)證當(dāng)n 1時(shí)結(jié)論成立 2 所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明 3 用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí) 歸納假設(shè)可以不用 4 不論是等式還是不等式 用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí) 由n k到n k 1時(shí) 項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng) 5 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 1 2 22 2n 2 2n 3 1 驗(yàn)證n 1時(shí) 左邊式子應(yīng)為1 2 22 23 6 用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的內(nèi)角和公式時(shí) n0 3 思考辨析 答案 1 a a2 考點(diǎn)自測 2 1 2 3 4 5 答案 解析凸n邊形邊數(shù)最小時(shí)是三角形 故第一步檢驗(yàn)n 3 3 解析答案 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 答案 解析答案 1 2 3 4 5 3 4 5 n 1 1 2 3 4 5 答案 返回 題型分類深度剖析 例1用數(shù)學(xué)歸納法證明 題型一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 解析答案 思維升華 證明 1 當(dāng)n 1時(shí) 左邊 右邊 所以等式成立 2 假設(shè)n k k N 時(shí)等式成立 即有 解析答案 思維升華 則當(dāng)n k 1時(shí) 所以當(dāng)n k 1時(shí) 等式也成立 由 1 2 可知 對于一切n N 等式恒成立 思維升華 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式應(yīng)注意 1 明確初始值n0的取值并驗(yàn)證n n0時(shí)等式成立 2 由n k證明n k 1時(shí) 弄清左邊增加的項(xiàng) 且明確變形目標(biāo) 3 掌握恒等變形常用的方法 因式分解 添拆項(xiàng) 配方法 思維升華 求證 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1 n N 證明 1 當(dāng)n 1時(shí) 等式左邊 2 右邊 2 故等式成立 2 假設(shè)當(dāng)n k k N 時(shí)等式成立 即 k 1 k 2 k k 2k 1 3 5 2k 1 那么當(dāng)n k 1時(shí) 左邊 k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 2k 1 3 5 2k 1 2k 1 2 2k 1 1 3 5 2k 1 2k 1 所以當(dāng)n k 1時(shí)等式也成立 由 1 2 可知 對所有n N 等式成立 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 1 求a的值 題型二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 解析答案 所以a2 1 又因?yàn)閍2 1 所以a 1 解析答案 思維升華 證明用數(shù)學(xué)歸納法證明 故n 2時(shí) 原不等式也成立 解析答案 思維升華 所以當(dāng)n k 1時(shí) 原不等式也成立 思維升華 1 當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí) 應(yīng)用其他辦法不容易證 則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n k成立 推證n k 1時(shí)也成立 在歸納假設(shè)后 可采用分析法 綜合法 求差 求商 比較法 放縮法等證明 思維升華 2014 陜西 設(shè)函數(shù)f x ln 1 x g x xf x x 0 其中f x 是f x 的導(dǎo)函數(shù) 1 令g1 x g x gn 1 x g gn x n N 求gn x 的表達(dá)式 2 若f x ag x 恒成立 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 3 設(shè)n N 比較g 1 g 2 g n 與n f n 的大小 并加以證明 跟蹤訓(xùn)練2 解析答案 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 解析答案 那么 當(dāng)n k 1時(shí) gk 1 x g gk x 由 可知 結(jié)論對n N 成立 解析答案 當(dāng)a 1時(shí) x 0 僅當(dāng)x 0 a 1時(shí)等號成立 x 在 0 上單調(diào)遞增 又 0 0 x 0在 0 上恒成立 解析答案 當(dāng)a 1時(shí) 對x 0 a 1 有 x 0 x 在 0 a 1 上單調(diào)遞減 a 1 1時(shí) 存在x 0 使 x 0 綜上可知 a的取值范圍是 1 n f n n ln n 1 解析答案 比較結(jié)果為g 1 g 2 g n n ln n 1 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 解析答案 由 可知 結(jié)論對n N 成立 命題點(diǎn)1與函數(shù)關(guān)系式有關(guān)的證明 題型三歸納 猜想 證明 解析答案 由x2 x4 x6猜想 數(shù)列 x2n 是遞減數(shù)列 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 當(dāng)n 1時(shí) 已證命題成立 2 假設(shè)當(dāng)n k時(shí)命題成立 即x2k x2k 2 易知xk 0 那么 解析答案 即x2 k 1 x2 k 1 2 所以當(dāng)n k 1時(shí)命題也成立 結(jié)合 1 2 知 對于任何n N 命題成立 命題點(diǎn)2與數(shù)列通項(xiàng)公式 前n項(xiàng)和公式有關(guān)的證明 1 求a1 a2 a3 并猜想 an 的通項(xiàng)公式 解析答案 2 證明通項(xiàng)公式的正確性 證明 由 1 知 當(dāng)n 1 2 3時(shí) 通項(xiàng)公式成立 假設(shè)當(dāng)n k k 3 k N 時(shí) 通項(xiàng)公式成立 即當(dāng)n k 1時(shí) 通項(xiàng)公式也成立 解析答案 命題點(diǎn)3存在性問題的證明 1 若b 1 求a2 a3及數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 解析答案 再由題設(shè)條件知 an 1 1 2 an 1 2 1 從而數(shù)列 an 1 2 是首項(xiàng)為0 公差為1的等差數(shù)列 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上式 當(dāng)n 1時(shí)結(jié)論顯然成立 解析答案 所以當(dāng)n k 1時(shí)結(jié)論成立 2 若b 1 問 是否存在實(shí)數(shù)c使得a2n c a2n 1對所有n N 成立 證明你的結(jié)論 解析答案 思維升華 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題 a2n c a2n 1 1 假設(shè)n k時(shí)結(jié)論成立 即a2kf a2k 1 f 1 a2 即1 c a2k 2 a2 解析答案 思維升華 再由f x 在 1 上為減函數(shù) 得c f c f a2k 2 f a2 a3 1 故c a2k 3 1 因此a2 k 1 c a2 k 1 1 1 這就是說 當(dāng)n k 1時(shí)結(jié)論成立 先證 0 an 1 n N 當(dāng)n 1時(shí) 結(jié)論顯然成立 假設(shè)n k時(shí)結(jié)論成立 即0 ak 1 易知f x 在 1 上為減函數(shù) 解析答案 思維升華 這就是說 當(dāng)n k 1時(shí)結(jié)論成立 故 成立 再證 a2n a2n 1 n N 有a2f a2k 1 a2k 2 a2 k 1 f a2k 1 f a2k 2 a2 k 1 1 解析答案 思維升華 這就是說 當(dāng)n k 1時(shí) 成立 所以 對一切n N 成立 又由 及f x 在 1 上為減函數(shù) 得f a2n f a2n 1 即a2n 1 a2n 2 思維升華 1 利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題 存在性問題 其基本模式是 歸納 猜想 證明 即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論 然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性 2 歸納 猜想 證明 的基本步驟是 試驗(yàn) 歸納 猜想 證明 高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題 思維升華 1 2015 江蘇 已知集合X 1 2 3 Yn 1 2 3 n n N 設(shè)Sn a b a整除b或b整除a a X b Yn 令f n 表示集合Sn所含元素的個(gè)數(shù) 寫出f 6 的值 解Y6 1 2 3 4 5 6 S6中的元素 a b 滿足 若a 1 則b 1 2 3 4 5 6 若a 2 則b 1 2 4 6 若a 3 則b 1 3 6 所以f 6 13 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 當(dāng)n 6時(shí) 寫出f n 的表達(dá)式 并用數(shù)學(xué)歸納法證明 解析答案 解當(dāng)n 6時(shí) 解析答案 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 假設(shè)n k k 6 時(shí)結(jié)論成立 那么n k 1時(shí) Sk 1在Sk的基礎(chǔ)上新增加的元素在 1 k 1 2 k 1 3 k 1 中產(chǎn)生 分以下情形討論 1 若k 1 6t 則k 6 t 1 5 此時(shí)有 解析答案 2 若k 1 6t 1 則k 6t 此時(shí)有 3 若k 1 6t 2 則k 6t 1 此時(shí)有 解析答案 4 若k 1 6t 3 則k 6t 2 此時(shí)有 5 若k 1 6t 4 則k 6t 3 此時(shí)有 解析答案 6 若k 1 6t 5 則k 6t 4 此時(shí)有 綜上所述 結(jié)論對滿足n 6的自然數(shù)n均成立 2 設(shè)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且方程x2 anx an 0有一根為Sn 1 n N 求a1 a2 解當(dāng)n 1時(shí) 方程x2 a1x a1 0有一根為S1 1 a1 1 解析答案 猜想數(shù)列 Sn 的通項(xiàng)公式 并給出證明 解析答案 返回 解由題意知 Sn 1 2 an Sn 1 an 0 當(dāng)n 2時(shí) an Sn Sn 1 代入上式整理得 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論 解析答案 1 當(dāng)n 1時(shí) 結(jié)論成立 即當(dāng)n k 1時(shí)結(jié)論成立 返回 答題模板系列 典例 14分 數(shù)列 an 滿足Sn 2n an n N 1 計(jì)算a1 a2 a3 a4 并由此猜想通項(xiàng)公式an 2 證明 1 中的猜想 思維點(diǎn)撥 1 由S1 a1算出a1 由an Sn Sn 1算出a2 a3 a4 觀察所得數(shù)值的特征猜出通項(xiàng)公式 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明 答題模板系列 9 歸納 猜想 證明問題 解析答案 思維點(diǎn)撥 溫馨提醒 返回 答題模板 規(guī)范解答 1 解當(dāng)n 1時(shí) a1 S1 2 a1 a1 1 當(dāng)n 4時(shí) a1 a2 a3 a4 S4 2 4 a4 解析答案 溫馨提醒 答題模板 2 證明 當(dāng)n 1時(shí) a1 1 結(jié)論成立 6分 假設(shè)n k k 1且k N 時(shí) 結(jié)論成立 那么n k 1時(shí) ak 1 Sk 1 Sk 2 k 1 ak 1 2k ak 2 ak ak 1 2ak 1 2 ak 10分 解析答案 溫馨提醒 答題模板 當(dāng)n k 1時(shí) 結(jié)論成立 13分 答題模板 溫馨提醒 答題模板 歸納 猜想 證明問題的一般步驟第一步 計(jì)算數(shù)列前幾項(xiàng)或特殊情況 觀察規(guī)律猜測數(shù)列的通項(xiàng)或一般結(jié)論 第二步 驗(yàn)證一般結(jié)論對第一個(gè)值n0 n0 N 成立 第三步 假設(shè)n k k n0 時(shí)結(jié)論成立 證明當(dāng)n k 1時(shí)結(jié)論也成立 第四步 下結(jié)論 由上可知結(jié)論對任意n n0 n N 成立 解決數(shù)學(xué)歸納法中 歸納 猜想 證明 問題及不等式證明時(shí) 還有以下幾點(diǎn)容易造成失分 在備考時(shí)要高度關(guān)注 1 歸納整理不到位得不出正確結(jié)果 從而給猜想造成困難 2 證明n k到n k 1這一步時(shí) 忽略了假設(shè)條件去證明 造成使用的不是純正的數(shù)學(xué)歸納法 3 不等式證明過程中 不能正確合理地運(yùn)用分析法 綜合法來求證 另外需要熟練掌握數(shù)學(xué)歸納法中幾種常見的推證技巧 只有這樣 才能快速正確地解決問題 溫馨提醒 返回 思想方法感悟提高 1 數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟相互依存 缺一不可有一無二 是不完全歸納法 結(jié)論不一定可靠 有二無一 第二步就失去了遞推的基礎(chǔ) 2 歸納假設(shè)的作用在用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí) 對于歸納假設(shè)要注意以下兩點(diǎn) 1 歸納假設(shè)就是已知條件 2 在推證n k 1時(shí) 必須用上歸納假設(shè) 3 利用歸納假設(shè)的技巧在推證n k 1時(shí) 可以通過湊 拆 配項(xiàng)等方法用上歸納假設(shè) 此時(shí)既要看準(zhǔn)目標(biāo) 又要掌握n k與n k 1之間的關(guān)系 在推證時(shí) 分析法 綜合法 反證法等方法都可以應(yīng)用 方法與技巧 1 數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)初始值n0不一定是1 2 推證n k 1時(shí)一定要用上n k時(shí)的假設(shè) 否則不是數(shù)學(xué)歸納法 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明2n 2n 1 n的第一個(gè)取值應(yīng)是 解析 n 1時(shí) 21 2 2 1 1 3 2n 2n 1不成立 n 2時(shí) 22 4 2 2 1 5 2n 2n 1不成立 n 3時(shí) 23 8 2 3 1 7 2n 2n 1成立 n的第一個(gè)取值應(yīng)是3 3 解析答案 代入驗(yàn)證可知n的最小值是8 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 3 數(shù)列 an 中 已知a1 1 當(dāng)n 2時(shí) an an 1 2n 1 依次計(jì)算a2 a3 a4后 猜想an的表達(dá)式是 解析計(jì)算出a1 1 a2 4 a3 9 a4 16 可猜an n2 n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 當(dāng)n k 1時(shí) 不等式成立 則上述證法 填序號 過程全部正確 n 1驗(yàn)得不正確 歸納假設(shè)不正確 從n k到n k 1的推理不正確 解析在n k 1時(shí) 沒有應(yīng)用n k時(shí)的假設(shè) 不是數(shù)學(xué)歸納法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 5 利用數(shù)學(xué)歸納法證明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n N 時(shí) 從 n k 變到 n k 1 時(shí) 左邊應(yīng)增乘的因式是 解析當(dāng)n k k N 時(shí) 左式為 k 1 k 2 k k 當(dāng)n k 1時(shí) 左式為 k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 k 1 k k 1 k 1 2 2k 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 6 設(shè)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且對任意的自然數(shù)n都有 Sn 1 2 anSn 通過計(jì)算S1 S2 S3 猜想Sn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 左邊增加了2k項(xiàng) 2k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 1 求過點(diǎn)P1 P2的直線l的方程 解由題意得a1 1 b1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 2 試用數(shù)學(xué)歸納法證明 對于n N 點(diǎn)Pn都在 1 中的直線l上 證明 當(dāng)n 1時(shí) 2a1 b1 2 1 1 1成立 假設(shè)n k k N 時(shí) 2ak bk 1成立 當(dāng)n k 1時(shí) 2ak 1 bk 1 1也成立 由 知 對于n N 都有2an bn 1 即點(diǎn)Pn都在直線l上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 10 設(shè)f x 是定義在正整數(shù)集上的函數(shù) 且f x 滿足 當(dāng)f k k2成立時(shí) 總可推出f k 1 k 1 2成立 那么 下列命題總成立的是 若f 1 1成立 則f 10 100成立 若f 2 4成立 則f 1 1成立 若f 3 9成立 則當(dāng)k 1時(shí) 均有f k k2成立 若f 4 16成立 則當(dāng)k 4時(shí) 均有f k k2成立 解析 f k k2成立時(shí) f k 1 k 1 2成立 f 4 16時(shí) 有f 5 52 f 6 62 f k k2成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 11 設(shè)平面上n個(gè)圓周最多把平面分成f n 片 平面區(qū)域 則f 2 f n n 1 n N 解析易知2個(gè)圓周最多把平面分成4片 n個(gè)圓周最多把平面分成f n 片 再放入第n 1個(gè)圓周 為使得到盡可能多的平面區(qū)域 第n 1個(gè)應(yīng)與前面n個(gè)都相交且交點(diǎn)均不同 有n條公共弦 其端點(diǎn)把第n 1個(gè)圓周分成2n段 每段都把已知的某一片劃分成2片 即f n 1 f n 2n n 1 所以f n f 1 n n 1 而f 1 2 從而f n n2 n 2 4 n2 n 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 12 設(shè)平面內(nèi)有n條直線 n 3 其中有且僅有兩條直線互相平行 任意三條直線不過同一點(diǎn) 若用f n 表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù) 則f 4 當(dāng)n 4時(shí) f n 用n表示 解析f 3 2 f 4 f 3 3 2 3 5 f n f 3 3 4 n 1 2 3 4 n 1 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 1 當(dāng)n 1 2 3時(shí) 試比較f n 與g n 的大小 解當(dāng)n 1時(shí) f 1 1 g 1 1 所以f 1 g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 2 猜想f n 與g n 的大小關(guān)系 并給出證明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 解由 1 猜想f n g n 下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明 當(dāng)n 1 2 3時(shí) 不等式顯然成立 假設(shè)當(dāng)n k k 3 k N 時(shí)不等式成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由 可知 對一切n N 都有f n g n 成立 1 求b1 b2 b3 b4 解經(jīng)過計(jì)算可知 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 2 求數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式 解由條件可知 an 1an 2 k anan 1 類似地有 an 2an 1 k an 1an 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 3 是否存在正數(shù)k 使得數(shù)列 an 的每一項(xiàng)均為整數(shù) 如果不存在 說明理由 如果存在 求出所有的k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 返回 解假設(shè)存在正數(shù)k 使得數(shù)列 an 的每一項(xiàng)均為整數(shù) 則由 2 可知 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 結(jié)合 式 反復(fù)遞推 可知 an 的每一項(xiàng)均為整數(shù) 解析答案 我們用數(shù)學(xué)歸納法證明a2n 1為偶數(shù) a2n為整數(shù) n 1時(shí) 結(jié)論顯然成立 假設(shè)n k時(shí)結(jié)論成立 這時(shí)a2k 1為偶數(shù) a2k為整數(shù) 故a2k 1 2a2k a2k 1為偶數(shù) a2k 2為整數(shù) 所以n k 1時(shí) 命題成立 故數(shù)列 an 是整數(shù)列 綜上所述 k的取值集合是 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回