章末復(fù)習(xí)課第2章推理與證明學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解合情推理的含義，能利用歸納、類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.2.了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法，并會(huì)利用分析法和綜合法證明簡(jiǎn)單的問題.3.了解反證法的思想，并能靈活應(yīng)用.題型探究知識(shí)梳理內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練知識(shí)梳理1.合情推理(1)歸納推理定義：從個(gè)別事實(shí)中推演出 的結(jié)論的推理稱為歸納推理.歸納推理的思維過程大致是： .特點(diǎn)：由 到整體、由 到一般的推理.(2)類比推理定義：根據(jù)兩個(gè)(或兩類)對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤襁@樣的推理通常稱為類比推理.類比推理的思維過程為： .特點(diǎn)：類比推理是由 到 的推理.一般性實(shí)驗(yàn)、觀察概括、推廣猜測(cè)一般性結(jié)論部分個(gè)別觀察、比較聯(lián)想、類推猜測(cè)新的結(jié)論特殊特殊(3)合情推理合情推理是根據(jù) 、 、 ，以及個(gè)人的 和直覺等推測(cè)某些結(jié)果的推理過程. 和 都是數(shù)學(xué)活動(dòng)中常用的合情推理.2.演繹推理(1)演繹推理由一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法叫演繹推理.簡(jiǎn)言之，演繹推理是由 到 的推理.已有的事實(shí)正確的結(jié)論實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果經(jīng)驗(yàn)歸納推理類比推理一般特殊(2)“三段論”是演繹推理的一般模式大前提已知的 ；小前提所研究的 ；結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì) 作出的判斷.3.直接證明(1)綜合法定義：從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止，這種證明方法常稱為綜合法.思維過程：由因?qū)Ч?一般原理特殊情況特殊情況(2)分析法定義：從問題的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件吻合為止，這種證明方法常稱為分析法.思維過程：執(zhí)果索因.4.間接證明用反證法來(lái)證明時(shí)，要從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題).題型探究例例1(1)有一個(gè)奇數(shù)列1,3,5,7,9，現(xiàn)在進(jìn)行如下分組：第一組含一個(gè)數(shù)1；第二組含兩個(gè)數(shù)3,5；第三組含三個(gè)數(shù)7,9,11；第四組含四個(gè)數(shù)13,15,17,19；，試觀察每組內(nèi)各數(shù)之和f(n)(nN*)與組的編號(hào)數(shù)n的關(guān)系式為_.類型一合情推理的應(yīng)用解析解析由于113 ,35823，79112733,131517196443，猜想第n組內(nèi)各數(shù)之和f(n)與組的編號(hào)數(shù)n的關(guān)系式為f(n)n3.f(n)n3答案解析解答(2)在平面幾何中，對(duì)于RtABC，ACBC，設(shè)ABc，ACb，BCa，則a2b2c2；cos2Acos2B1；把上面的結(jié)論類比到空間寫出相類似的結(jié)論；試對(duì)其中一個(gè)猜想進(jìn)行證明.解解選取3個(gè)側(cè)面兩兩垂直的四面體作為直角三角形的類比對(duì)象.設(shè)3個(gè)兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，底面面積為S，設(shè)3個(gè)兩兩垂直的側(cè)面與底面所成的角分別為，則cos2cos2cos21.設(shè)3個(gè)兩兩垂直的側(cè)面形成的側(cè)棱長(zhǎng)分別為a，b，c，則這個(gè)四面體下面對(duì)的猜想進(jìn)行證明.如圖在四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，面ABC，面ABD，面ACD為三個(gè)兩兩垂直的側(cè)面.設(shè)ABa，ACb，ADc，即所證猜想為真命題.(1)歸納推理中有很大一部分題目是數(shù)列內(nèi)容，通過觀察給定的規(guī)律，得到一些簡(jiǎn)單數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列中的常見方法.(2)類比推理重在考查觀察和比較的能力，題目一般情況下較為新穎，也有一定的探索性.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1(1)觀察下列圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，則第n個(gè)圖形中有_個(gè)小正方形.答案解析解析解析第1個(gè)圖有3個(gè)正方形記作a1，第2個(gè)圖有33個(gè)正方形記作a2，第3個(gè)圖有64個(gè)正方形記作a3，第4個(gè)圖有105個(gè)正方形記作a4，正方形的個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列an，則a2a13，(1)a3a24, (2)a4a35, (3) anan1n1，(n1)(1)(2)(n1)，得ana1345(n1)，(2)若數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，則有性質(zhì)“若SmSn(m，nN*且mn)，則Smn0.”類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，當(dāng)數(shù)列bn為等比數(shù)列時(shí)，寫出一個(gè)正確的性質(zhì)：_.答案 數(shù)列bn為等比數(shù)列，Tm表示其前m項(xiàng)的積，若TmTn(m，nN*，mn)，則Tmn1類型二綜合法與分析法證明證明證明方法一(綜合法)因?yàn)閍0，b0，ab1，方法二(分析法)因?yàn)閍0，b0，ab1，所以原不等式成立.反思與感悟分析法和綜合法是兩種思路相反的推理方法：分析法是倒溯，綜合法是順推，二者各有優(yōu)缺點(diǎn).分析法容易探路，且探路與表述合一，缺點(diǎn)是表述易錯(cuò)；綜合法條件清晰，易于表述，因此對(duì)于難題常把二者交互運(yùn)用，互補(bǔ)優(yōu)缺，形成分析綜合法，其邏輯基礎(chǔ)是充分條件與必要條件.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2已知x0，y0，求證：(x2y2) (x3y3) . 證明1312證明證明要證明(x2y2) (x3y3) ，只需證(x2y2)3(x3y3)2.只需證x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6，只需證3x4y23x2y42x3y3.又x0，y0，x2y20，只需證3x23y22xy.3x23y2x2y22xy，3x23y22xy成立，故(x2y2) (x3y3) .12121313類型三反證法證明因?yàn)閤0且y0，所以1x2y且1y2x，兩式相加，得2xy2x2y，所以xy2.這與已知xy2矛盾.反思與感悟反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題；涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命題時(shí)，也常用反證法.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3已知：ac2(bd).求證：方程x2axb0與方程x2cxd0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根.證明證明證明假設(shè)兩方程都沒有實(shí)數(shù)根，則1a24b0與2c24d0，有a2c22ac，即acbc，ab0，bc0，ac0，且acabbc.故k的最大正整數(shù)為4.3.已知在ABC中，ADBC于D，三邊是a，b，c，則有accos Bbcos C.類比上述推理結(jié)論，寫出下列條件下的結(jié)論：在四面體PABC中，ABC，PAB，PBC，PCA的面積分別是S，S1，S2，S3，二面角PABC，PBCA，PACB的度數(shù)分別是，則S_.23451答案S1cos S2cos S3cos 4.如圖，這是一個(gè)正六邊形的序列：23451則第n個(gè)圖形的邊數(shù)為_.答案5n1解析解析解析圖(1)共6條邊，圖(2)共11條邊，圖(3)共16條邊，其邊數(shù)構(gòu)成以6為首項(xiàng)，5為公差的等差數(shù)列，則圖(n)的邊數(shù)為an6(n1)55n1.23451證明證明證明因?yàn)閍b，所以ab0，平方得|a|2|b|22|a|b|2(|a|2|b|2)，只需證|a|2|b|22|a|b|0成立.即只需證(|a|b|)20，它顯然成立.故原不等式得證.規(guī)律與方法直接證明和間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類基本證明方法.直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常把它們結(jié)合起來(lái)使用.間接證明的一種方法是反證法，反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法.本課結(jié)束