第十二章概率 隨機(jī)變量及其概率分布 12 3幾何概型 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 題型分類深度剖析 易錯(cuò)警示系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 1 幾何概型的概念設(shè)D是一個(gè)可度量的區(qū)域 例如 等 每個(gè)基本事件可以視為從區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn) 區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì) 隨機(jī)事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的 這時(shí) 事件A發(fā)生的概率與d的測(cè)度 等 成正比 與d的形狀和位置無關(guān) 我們把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型 線段 平面圖形 立體圖形 都一樣 某個(gè)指 定區(qū)域d中的點(diǎn) 長(zhǎng)度 面積 體積 知識(shí)梳理 1 答案 2 幾何概型的概率計(jì)算公式一般地 在幾何區(qū)域D中隨機(jī)地取一點(diǎn) 記事件 該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域d內(nèi) 為事件A 則事件A發(fā)生的概率P A 3 要切實(shí)理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn) 1 無限性 在一次試驗(yàn)中 可能出現(xiàn)的結(jié)果有 2 等可能性 每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有 無限多個(gè) 等可能性 答案 4 隨機(jī)模擬方法 1 使用計(jì)算機(jī)或者其他方式進(jìn)行的模擬試驗(yàn) 以便通過這個(gè)試驗(yàn)求出隨機(jī)事件的概率的近似值的方法就是模擬方法 2 用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)的方法為隨機(jī)模擬方法 這個(gè)方法的基本步驟是 用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù) 并賦予每個(gè)隨機(jī)數(shù)一定的意義 統(tǒng)計(jì)代表某意義的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)M和總的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N 計(jì)算頻率fn A 作為所求概率的近似值 判斷下面結(jié)論是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 或 1 在一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率是零 2 幾何概型中 每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn) 該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等 3 在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段 平面圖形 立體圖形 4 隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率 5 與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān) 6 從區(qū)間 1 10 內(nèi)任取一個(gè)數(shù) 取到1的概率是P 思考辨析 答案 1 教材改編 在線段 0 3 上任投一點(diǎn) 則此點(diǎn)坐標(biāo)小于1的概率為 解析坐標(biāo)小于1的區(qū)間為 0 1 長(zhǎng)度為1 0 3 區(qū)間長(zhǎng)度為3 考點(diǎn)自測(cè) 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 2015 山東改編 在區(qū)間 0 2 上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x 則事件 1 1 發(fā)生的概率為 由幾何概型的概率計(jì)算公式得所求概率 解析答案 1 2 3 4 5 3 2014 遼寧改編 若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD中 其中AB 2 BC 1 則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是 解析設(shè)質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A 解析答案 1 2 3 4 5 4 2014 福建 如圖 在邊長(zhǎng)為1的正方形中隨機(jī)撒1000粒豆子 有180粒落到陰影部分 據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為 解析由題意知 這是個(gè)幾何概型問題 S正 1 S陰 0 18 0 18 解析答案 1 2 3 4 5 5 教材改編 如圖 圓中有一內(nèi)接等腰三角形 假設(shè)你在圖中隨機(jī)撒一把黃豆 則它落在陰影部分的概率為 解析設(shè)圓的半徑為R 由題意知圓內(nèi)接三角形為等腰直角三角形 1 2 3 4 5 解析答案 返回 題型分類深度剖析 例1 1 2015 重慶 在區(qū)間 0 5 上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p 則方程x2 2px 3p 2 0有兩個(gè)負(fù)根的概率為 解析方程x2 2px 3p 2 0有兩個(gè)負(fù)根 題型一與長(zhǎng)度 角度有關(guān)的幾何概型 解析答案 解析答案 3 如圖所示 在 ABC中 B 60 C 45 高AD 在 BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M 求BM 1的概率 解因?yàn)?B 60 C 45 所以 BAC 75 記事件N為 在 BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M 使BM 1 則可得 BAM BAD時(shí)事件N發(fā)生 解析答案 引申探究 解析答案 2 若本例 3 中 在 BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M 改為 在線段BC上找一點(diǎn)M 求BM 1的概率 解析答案 思維升華 求解與長(zhǎng)度 角度有關(guān)的幾何概型的方法求與長(zhǎng)度 角度 有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度 角度 然后求解 要特別注意 長(zhǎng)度型 與 角度型 的不同 解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域 長(zhǎng)度或角度 思維升華 1 如圖 在直角坐標(biāo)系內(nèi) 射線OT落在30 角的終邊上 任作一條射線OA 則射線OA落在 yOT內(nèi)的概率為 解析如題圖 因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 解析由題意得A x 1 x 5 B x 2 x 3 故A B x 2 x 3 由幾何概型知 在集合A中任取一個(gè)元素x 解析答案 命題點(diǎn)1與平面圖形面積有關(guān)的問題 題型二與面積有關(guān)的幾何概型 解析答案 解析由圖形知C 1 2 D 2 2 命題點(diǎn)2與線性規(guī)劃知識(shí)交匯命題的問題 例3 2014 重慶 某校早上8 00開始上課 假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7 30 7 50之間到校 且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的 則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為 解析答案 思維升華 解析設(shè)小張與小王的到校時(shí)間分別為7 00后第x分鐘 第y分鐘 根據(jù)題意可畫出圖形 如圖所示 則總事件所占的面積為 50 30 2 400 小張比小王至少早5分鐘到校表示的事件A x y y x 5 30 x 50 30 y 50 思維升華 求解與面積有關(guān)的幾何概型的注意點(diǎn)求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí) 關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積 必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量 把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo) 找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形 以便求解 思維升華 1 在區(qū)間 內(nèi)隨機(jī)取出兩個(gè)數(shù)分別記為a b 則函數(shù)f x x2 2ax b2 2有零點(diǎn)的概率為 解析由函數(shù)f x x2 2ax b2 2有零點(diǎn) 可得 2a 2 4 b2 2 0 整理得a2 b2 2 如圖所示 a b 可看成坐標(biāo)平面上的點(diǎn) 試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?a b a b 其面積S 2 2 4 2 事件A表示函數(shù)f x 有零點(diǎn) 所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镸 a b a2 b2 2 即圖中陰影部分 其面積為SM 4 2 3 跟蹤訓(xùn)練2 解析答案 解析答案 解析如圖 平面區(qū)域 1就是三角形區(qū)域OAB 平面區(qū)域 2與平面區(qū)域 1的重疊部分就是區(qū)域OACD 故由幾何概型的概率公式 例4在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD A1B1C1D1中 點(diǎn)O為底面ABCD的中心 在正方體ABCD A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P 則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為 題型三與體積有關(guān)的幾何概型 解析答案 思維升華 求解與體積有關(guān)問題的注意點(diǎn)對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題 關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積 總空間 以及事件的體積 事件空間 對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求 思維升華 如圖 在長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1中 有一動(dòng)點(diǎn)在此長(zhǎng)方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng) 則此動(dòng)點(diǎn)在三棱錐A A1BD內(nèi)的概率為 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 返回 易錯(cuò)警示系列 典例 14分 在長(zhǎng)度為1的線段上任取兩點(diǎn) 將線段分成三段 試求這三條線段能構(gòu)成三角形的概率 易錯(cuò)分析不能正確理解題意 無法找出準(zhǔn)確的幾何度量來計(jì)算概率 易錯(cuò)警示系列 16 混淆長(zhǎng)度型與面積型幾何概型致誤 溫馨提醒 解析答案 返回 易錯(cuò)分析 規(guī)范解答解設(shè)x y表示三段長(zhǎng)度中的任意兩個(gè) 因?yàn)槭情L(zhǎng)度 所以應(yīng)有0 x 1 0 y 1 0 x y 1 即 x y 對(duì)應(yīng)著坐標(biāo)系中以 0 1 1 0 和 0 0 為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)的點(diǎn) 如圖所示 6分 要形成三角形 由構(gòu)成三角形的條件知 故圖中陰影部分符合構(gòu)成三角形的條件 10分 溫馨提醒 解析答案 溫馨提醒 解決幾何概型問題的易誤點(diǎn) 1 不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型 導(dǎo)致錯(cuò)誤 2 利用幾何概型的概率公式時(shí) 忽視驗(yàn)證事件是否具有等可能性 導(dǎo)致錯(cuò)誤 返回 溫馨提醒 思想方法感悟提高 1 區(qū)分古典概型和幾何概型最重要的是看基本事件的個(gè)數(shù)是有限個(gè)還是無限個(gè) 2 轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用對(duì)一個(gè)具體問題 可以將其幾何化 如建立坐標(biāo)系將試驗(yàn)結(jié)果和點(diǎn)對(duì)應(yīng) 然后利用幾何概型概率公式 1 一般地 一個(gè)連續(xù)變量可建立與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型 只需把這個(gè)變量放在坐標(biāo)軸上即可 方法與技巧 2 若一個(gè)隨機(jī)事件需要用兩個(gè)變量來描述 則可用這兩個(gè)變量的有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示它的基本事件 然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型 3 若一個(gè)隨機(jī)事件需要用三個(gè)連續(xù)變量來描述 則可用這三個(gè)變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件 利用空間直角坐標(biāo)系建立與體積有關(guān)的幾何概型 方法與技巧 1 準(zhǔn)確把握幾何概型的 測(cè)度 是解題關(guān)鍵 2 幾何概型中 線段的端點(diǎn) 圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2014 湖南改編 在區(qū)間 2 3 上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X 則X 1的概率為 解析在區(qū)間 2 3 上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 已知 ABC中 ABC 60 AB 2 BC 6 在BC上任取一點(diǎn)D 則使 ABD為鈍角三角形的概率為 解析如圖 當(dāng)BE 1時(shí) AEB為直角 則點(diǎn)D在線段BE 不包含B E點(diǎn) 上時(shí) ABD為鈍角三角形 當(dāng)BF 4時(shí) BAF為直角 則點(diǎn)D在線段CF 不包含C F點(diǎn) 上時(shí) ABD為鈍角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析如圖所示 正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D 且區(qū)域D的面積為4 而陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的區(qū)域 易知該陰影部分的面積為4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 5 已知一只螞蟻在邊長(zhǎng)分別為5 12 13的三角形的邊上隨機(jī)爬行 則其恰在離三個(gè)頂點(diǎn)的距離都大于1的地方的概率為 解析由題意可知 三角形的三條邊長(zhǎng)的和為5 12 13 30 而螞蟻要在離三個(gè)頂點(diǎn)的距離都大于1的地方爬行 則它爬行的區(qū)域長(zhǎng)度為3 10 11 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 6 有一個(gè)底面圓的半徑為1 高為2的圓柱 點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心 在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P 則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 如圖 由題意知 在矩形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)Q m n 點(diǎn)Q落在陰影部分的概率即為所求的概率 易知直線m n恰好將矩形平分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析半圓域如圖所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 9 隨機(jī)向邊長(zhǎng)為5 5 6的三角形中投一點(diǎn)P 則點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于1的概率是 解析由題意作圖 如圖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 10 已知向量a 2 1 b x y 1 若x y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子 六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1 2 3 4 5 6 先后拋擲兩次時(shí)第一次 第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) 求滿足a b 1的概率 解將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次 所包含的基本事件總數(shù)為6 6 36 個(gè) 由a b 1有 2x y 1 所以滿足a b 1的基本事件為 1 1 2 3 3 5 共3個(gè) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 若x y在連續(xù)區(qū)間 1 6 上取值 求滿足a b 0的概率 解若x y在連續(xù)區(qū)間 1 6 上取值 則全部基本事件的結(jié)果為 x y 1 x 6 1 y 6 滿足a b 0的基本事件的結(jié)果為A x y 1 x 6 1 y 6且 2x y 0 畫出圖形如圖 矩形的面積為S矩形 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 11 一個(gè)長(zhǎng)方體空屋子 長(zhǎng) 寬 高分別為5米 4米 3米 地面三個(gè)角上各裝有一個(gè)捕蠅器 大小忽略不計(jì) 可捕捉距其一米空間內(nèi)的蒼蠅 若一只蒼蠅從位于另外一角處的門口飛入 并在房間內(nèi)盤旋 則蒼蠅被捕捉的概率是 解析屋子的體積為5 4 3 60立方米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 p1 p2 p3 p2 p3 p1 p3 p1 p2 p3 p2 p1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析如圖 點(diǎn) x y 所處的空間為正方形OBCA表示的平面區(qū)域 包括其邊界 故本題屬于幾何概型中的 面積比 型 分別畫出三個(gè)事件對(duì)應(yīng)的圖形 根據(jù)圖形面積的大小估算概率的大小 滿足條件的x y構(gòu)成的點(diǎn) x y 在正方形OBCA及其邊界上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 對(duì)三者的面積進(jìn)行比較 可得p2 p3 p1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 若 ABC的面積小于或等于5 所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)x 3 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以 ABC的面積小于或等于5的概率為 14 已知集合A 2 2 B 1 1 設(shè)M x y x A y B 在集合M內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)元素 x y 1 求以 x y 為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓x2 y2 1內(nèi)的概率 解集合M內(nèi)的點(diǎn)形成的區(qū)域面積S 8 因圓x2 y2 1的面積S1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 形成的區(qū)域如圖中陰影部分 陰影部分面積S2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 15 甲 乙兩船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭 它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的 如果甲船停泊時(shí)間為1h 乙船停泊時(shí)間為2h 求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 解設(shè)甲 乙兩艘船到達(dá)碼頭的時(shí)刻分別為x與y 記事件A為 兩船都不需要等待碼頭空出 則0 x 24 0 y 24 要使兩船都不需要等待碼頭空出 當(dāng)且僅當(dāng)甲比乙早到達(dá)1h以上或乙比甲早到達(dá)2h以上 即y x 1或x y 2 故所求事件構(gòu)成集合A x y y x 1或x y 2 x 0 24 y 0 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 A為圖中陰影部分 全部結(jié)果構(gòu)成集合 為邊長(zhǎng)是24的正方形及其內(nèi)部 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回