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1、精選優(yōu)質文檔-----傾情為你奉上 種群的相互依存 一,摘要: 自然界中處于同一環(huán)境下兩個種群相互依存而共生的現(xiàn)象是很普遍的。比方植物與昆蟲，一方面植物為昆蟲提供了食物資源，另一方面，盡管植物可以獨立生存，但昆蟲的授粉作用又可以提高植物的增長率。事實上，人類與人工飼養(yǎng)的牲畜之間也有類似的關系。本文從種群的增長規(guī)律出發(fā)，對Logistic模型進行修改，建立了可以獨立生存、共處時又能互相提供食物的兩種群的三種依存模型。并通過微分方程組描述了兩種群數(shù)量的變化規(guī)律，且對微分方程組穩(wěn)定點的分析, 得出了在共處的條件下兩種

2、群對對方相互作用的關系。 關鍵詞： Logistic模型 微分方程組 穩(wěn)定點 二， 問題的重述 情況1：如果兩個種群都能獨立生存，共處時又能相互提供食物，則建立種群依存模型并討論平衡點的穩(wěn)定性，解釋穩(wěn)定的意義。 情況2：如果甲能獨立存在，而乙不能獨立存在，甲乙在一起時能相互促進，使甲乙可以存活下來，則建立種群依存模型并討論平衡點的穩(wěn)定性，解釋穩(wěn)定的意義。 情況3：如果兩個種群都能不能獨立生存，且在一起時相互促進增長，則建立種群依存模型并討論平衡點的穩(wěn)定性，解釋穩(wěn)定的意義。 三， 模型的的假設 1. 該區(qū)域內作為考慮對象的僅有兩種群，若存在其他種群視其不對該

3、兩種群的發(fā)展產生影響。 2. 考慮的系統(tǒng)是封閉的，亦即無考慮種群物種個體的遷移。 2. 區(qū)域足夠大，即可容納足夠多的種群個體，進而可視各種群個體數(shù)是可微的，且區(qū)域可提供種群存在的資源足夠多但有限。 4． 符號的約定及名詞解釋 ：時間 、：表示處于相互依存關系中甲、乙二種群在時刻的數(shù)量 ：兩種群的最大容納量 ，即分別表示甲、乙二種群在單種群情況下自然資源所能承受的最大種群數(shù)量 ：兩種群的固有增長率 ：單位數(shù)量乙提供的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量甲（相對于N1）消耗的供養(yǎng)甲食物量的倍 ：單位數(shù)量甲提供的供養(yǎng)乙

4、的食物量為單位數(shù)量乙（相對于N2）消耗的供養(yǎng)乙食物量的倍 表示一個單位數(shù)量的乙可充當種群甲的生存資源的量。 表示一個單位數(shù)量的甲可充當種群乙的生存資源的量。 5． 模型的建立 情況1：如果兩個種群都能獨立生存，共處時又能相互提供食物 有甲乙兩個種群，當它們獨自在一個自然環(huán)境中生存時，數(shù)量的演變均遵從Logistic規(guī)律。由因為兩種群均可獨立生存，共處時又能相互提供食物。故種群甲乙的數(shù)量演變規(guī)律可以寫作： （1） 求解模型 令： （2）

5、 （3） 令： （4） （5） 由（2）（3）知，（1）為自治方程，為此： 令： 解為： 此為（1）的四個平衡點。 （） 記 記 （） 在處的值列表如下 穩(wěn)定條件 不穩(wěn)定 不穩(wěn)定 不

6、穩(wěn)定 穩(wěn)定性分析 由表可知，只在情況下，穩(wěn)定，甲乙才分別趨向非零的有限值，否則由于二者均能獨立生存又互相提供食物，將使二者均趨向無窮。 以（4）（5）式作圖，并在，的背景下討論。當σ1<1,σ1σ2<1相軌圖如下： 圖1 結果分析如下: 當 P1(N1,0)穩(wěn)定，即能夠獨立生存的種群甲趨向最大容量，而不能獨立生存的種群乙將滅絕。 情況2：如果甲能獨立存在，而乙不能獨立存在，甲乙在一起時能相互促進，使甲乙可以存活下來 乙不能獨自生存；甲乙一起生存時甲為乙提供食物、促進增長；乙的增長又受到本身的阻滯作用

7、(服從Logistic規(guī)律)，故種群甲乙的數(shù)量演變規(guī)律可以寫作： （1） 求解模型 （2） （3） （4） （5） 由（2）（3）知，（1）為自治方程，為此： 令： 解為：

8、 此為（1）的3個平衡點。 （） 記 記 （） 在處的值列表如下 平衡點 穩(wěn)定性分析 以（4）（5）式作圖，并在，的背景下討論。 由點的表達式容易看出，要使平衡點有實際意義，即位于相平面第一象限（），必須滿足下面兩個條件中的一個： ：＜1， ＞1， ＜1 ：＞1， ＜1， ＜1 由表可知，僅在條件下才是穩(wěn)定的。 直線和將相平面（）劃分成4個區(qū)域：：＞0，＜0；：＞0，＞0；：＜0，＞0；：＜0，＜0。圖1畫出了條件下相軌線的

9、示意圖。 圖2 穩(wěn)定的相軌線圖 (MATLAB模擬程序見附錄) 結果分析如下 ＜1， ＞1即乙提供給甲的食物量大于甲消耗的供養(yǎng)甲的食物量，而甲提供給乙的食物量卻小于乙消耗的供養(yǎng)乙的食物量。在時，平衡點是穩(wěn)定的。此時甲、乙兩種群將分別趨向于非零的有限值，否則由于二者均能獨立生存又相互提供食物，將使二者均趨向無窮。因此，在共處的條件下，兩種群不會同時都對對方有很大的促進作用。 情況3：如果兩個種群都能不能獨立生存，且在一起時相互促進增長. 有甲乙兩個種群，當它們獨自在一個自然環(huán)境中

10、生存時，數(shù)量的演變均遵從Logistic規(guī)律。由因為兩種群均不可獨立生存，共處時又能相互提供食物。故種群甲乙的數(shù)量演變規(guī)律可以寫作： （1） 求解模型 令： （2） （3） 令： （4） （5） 由（2）（3）

11、知，（1）為自治方程，為此： 令： 解為： 此為（1）的四個平衡點。 （） 記 記 （） 在處的值列表如下 穩(wěn)定條件 不穩(wěn)定 不穩(wěn)定 穩(wěn)定性分析 由表可知，無穩(wěn)定的平衡點以. （4）（5）式作圖，并在，的背景下討論。 (1) σ2>1,σ1σ2>1 圖3 結果分析: 無穩(wěn)定的平衡點，相互提供的食物可能使二者趨向無窮 (2) σ1>1,σ2<1,σ1

12、σ2>1 圖4 結果分析: 無穩(wěn)定的平衡點，相互提供的食物可能使二者趨向無窮 六 參考文獻 1 數(shù)學建模/姜啟源，謝金星，葉俊編.—3版.—北京：高等教育出版社 2 數(shù)學建模與實驗/陳恩水，王峰編.—北京：科學出版社，2008 3 MATLAB數(shù)學建模與仿真/周品，趙新芬編著，—北京：國防出版社，2008.4 七 附錄 圖一的MATLAB模擬程序 設n1=100;n2=100;a=0.1;b=0.2;x0=25,y0=10; function xdot=shier(t,x) n1=100;n2=100;a=0.1;b=0.02; xdot=[(1-x(1)/n1+a*x(2)/n2);(1-x(2))/n2+b*x(1)/n1]; >> ts=0:0.1:15; >> x0=[25,10]; >> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x], >> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)')' >> pause, >> plot(x(:,1),x(:,2)),grid, >> 專心---專注---專業(yè)