第2節(jié)圓與直線 圓與四邊形 1 會(huì)證明并應(yīng)用圓周角定理 圓的切線判定定理與性質(zhì)定理 知識(shí)鏈條完善把散落的知識(shí)連起來(lái) 知識(shí)梳理 1 圓周角定理 弦切角定理 1 圓周角定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的的一半 圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半 2 圓周角定理的推論推論1 同弧或等弧所對(duì)的相等 在同圓或等圓中 相等的 所對(duì)的弧也相等 推論2 半圓 或直徑 所對(duì)的圓周角是 90 的圓周角所對(duì)的弧是 3 弦切角定理弦切角等于它所夾弧所對(duì)的 弦切角的度數(shù)等于它所夾弧的度數(shù)的一半 圓心角 圓周角 圓周角 直角 半圓 圓周角 2 圓內(nèi)接四邊形的判定定理和性質(zhì)定理 互補(bǔ) 內(nèi)對(duì)角 互補(bǔ) 內(nèi)對(duì)角 3 圓的切線 外端 垂直于 垂直于 切點(diǎn) 圓心 4 直線與圓位置關(guān)系的有關(guān)定理 比例中項(xiàng) 積 積 切線長(zhǎng) 基礎(chǔ)自測(cè) 1 給出下列命題 圓心角等于圓周角的2倍 相等的圓周角所對(duì)的弧也相等 等腰梯形一定有外接圓 弦切角所夾弧的度數(shù)等于弦切角的度數(shù) 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中 A B C D m n p q 則有m p n q 其中錯(cuò)誤的是 A B C D 解析 錯(cuò)誤 若弧不一樣 則圓心角與圓周角的關(guān)系不確定 錯(cuò)誤 只有在同圓或等圓中 相等的圓周角所對(duì)的弧才相等 正確 可以推出等腰梯形的對(duì)角互補(bǔ) 所以有外接圓 錯(cuò)誤 弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角 所夾的弧的度數(shù)等于該弧所對(duì)圓心角的度數(shù) 所以弦切角所夾弧的度數(shù)等于弦切角度數(shù)的2倍 正確 圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角互補(bǔ) B A C 4 2015高考重慶卷 如圖 圓O的弦AB CD相交于點(diǎn)E 過點(diǎn)A作圓O的切線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P 若PA 6 AE 9 PC 3 CE ED 2 1 則BE 答案 2 5 2015高考廣東卷 如圖 已知AB是圓O的直徑 AB 4 EC是圓O的切線 切點(diǎn)為C BC 1 過圓心O作BC的平行線 分別交EC和AC于點(diǎn)D和點(diǎn)P 則OD 答案 8 考點(diǎn)專項(xiàng)突破在講練中理解知識(shí) 圓周角 圓心角 弦切角和圓的切線問題 考點(diǎn)一 反思?xì)w納 1 證明直線是圓的切線可運(yùn)用切線的判定定理 2 涉及圓的切線問題時(shí)常常利用弦切角定理實(shí)現(xiàn)弦切角與圓周角的相互轉(zhuǎn)化 利用圓周角 圓心角定理及其推論實(shí)現(xiàn)圓周角 圓心角及所對(duì)弧的度數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化 四點(diǎn)共圓問題 考點(diǎn)二 例2 如圖 CD為 ABC外接圓的切線 AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)D E F分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn) 且BC AE DC AF B E F C四點(diǎn)共圓 1 證明 CA是 ABC外接圓的直徑 2 若DB BE EA 求過B E F C四點(diǎn)的圓的面積與 ABC外接圓面積的比值 反思?xì)w納圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理是圓中探求角的相等或互補(bǔ)關(guān)系的常用定理 使用時(shí)要注意觀察圖形 要弄清四邊形的外角和它的內(nèi)對(duì)角的位置 其性質(zhì)定理是溝通角的相等關(guān)系的重要依據(jù) 解題時(shí)要注意相關(guān)角的定理的靈活應(yīng)用 即時(shí)訓(xùn)練 2015高考湖南卷 如圖 在 O中 相交于點(diǎn)E的兩弦AB CD的中點(diǎn)分別是M N 直線MO與直線CD相交于點(diǎn)F 證明 1 MEN NOM 180 2 FE FN FM FO 證明 1 因?yàn)镸 N分別是弦AB CD的中點(diǎn) 所以O(shè)M AB ON CD 即 OME 90 ENO 90 因此 OME ENO 180 又四邊形的內(nèi)角和等于360 故 MEN NOM 180 2 由 1 知O M E N四點(diǎn)共圓 故由割線定理即得FE FN FM FO 與圓有關(guān)的比例線段 考點(diǎn)三 例3 2014高考新課標(biāo)全國(guó)卷 如圖 P是 O外一點(diǎn) PA是切線 A為切點(diǎn) 割線PBC與 O相交于點(diǎn)B C PC 2PA D為PC的中點(diǎn) AD的延長(zhǎng)線交 O于點(diǎn)E 證明 1 BE EC 2 AD DE 2PB2 證明 2 由切割線定理得PA2 PB PC 因?yàn)镻A PD DC 所以DC 2PB BD PB 由相交弦定理得AD DE BD DC 所以AD DE 2PB2 反思?xì)w納證明與圓有關(guān)的比例線段 常用到三角形相似 相交弦定理 割線定理以及切割線定理等 同時(shí)要注意圓的有關(guān)性質(zhì) 直角三角形中的射影定理 角平分線的性質(zhì)的靈活運(yùn)用 即時(shí)訓(xùn)練 2016貴陽(yáng)一測(cè) AB是 O的一條切線 切點(diǎn)為B 過 O外一點(diǎn)C作直線CE交 O于G E 連接AE交 O于D 連接CD交 O于F 連接AC FG 已知AC AB 1 證明 AD AE AC2 2 證明 FG AC 證明 1 因?yàn)锳B是 O的一條切線 AE為割線 所以AB2 AD AE 又因?yàn)锳B AC 所以AC2 AD AE 備選例題 例1 2016赤峰模擬 如圖所示 圓O的直徑為BD 過圓上一點(diǎn)A作圓O的切線AE 過點(diǎn)D作DE AE于點(diǎn)E 延長(zhǎng)ED與圓O交于點(diǎn)C 1 證明 DA平分 BDE 1 證明 因?yàn)锳E是 O的切線 所以 DAE ABD 因?yàn)锽D是 O的直徑 所以 BAD 90 所以 ABD ADB 90 又 ADE DAE 90 所以 ADB ADE 所以DA平分 BDE 2 若AB 4 AE 2 求CD的長(zhǎng) 2 求證 BF FG 例3 2016烏魯木齊一診 過以AB為直徑的圓上C點(diǎn)作直線交圓于E點(diǎn) 交AB延長(zhǎng)線于D點(diǎn) 過C點(diǎn)作圓的切線交AD于F點(diǎn) 交AE延長(zhǎng)線于G點(diǎn) 且GA GF 1 求證CA CD 證明 1 因?yàn)镚F是圓的切線 所以 GCE GAC 又因?yàn)?GCE DCF 所以 DCF GAC 因?yàn)镚A GF 所以 GAF AFG 又 GAF GAC CAF AFG D DCF 所以 CAF D 所以CA CD 2 設(shè)H為AD的中點(diǎn) 求證BH BA BF BD 解題規(guī)范夯實(shí)把經(jīng)典問題的解決程序化 與圓有關(guān)的比例線段 典例 2016保定一模 如圖所示 已知 O1與 O2相交于A B兩點(diǎn) 過點(diǎn)A作 O1的切線交 O2于點(diǎn)C 過點(diǎn)B作兩圓的割線 分別交 O1 O2于點(diǎn)D E DE與AC相交于點(diǎn)P 1 求證 AD EC 2 若AD是 O2的切線 且PA 6 PC 2 BD 9 求AD的長(zhǎng) 滿分展示 1 證明 連接AB 1分因?yàn)锳C是 O1的切線 所以 BAC D 3分又因?yàn)?BAC E 所以 D E 所以AD EC 5分 2 解 因?yàn)镻A是 O1的切線 PD是 O1的割線 所以PA2 PB PD 所以62 PB PB 9 所以PB 3 7分在 O2中 由相交弦定理得PA PC BP PE 所以PE 4 8分因?yàn)锳D是 O2的切線 DE是 O2的割線 所以AD2 DB DE 9 16 所以AD 12 10分 答題模板 第一步 作輔助線 連接AB 第二步 由弦切角定理得 BAC D 第三步 由圓周角定理得 BAC E 第四步 等量代換得 D E 從而證出AD EC 第五步 由切割線定理求出PB的長(zhǎng) 第六步 由相交弦定理求出PE的長(zhǎng) 第七步 再由切割線定理求出AD的長(zhǎng)