專題一函數與導數 題型1 函數中的方程思想 函數與方程是高考的重要題型之一 一方面可以利用數形結合考查方程根的分布 另一方面可以與導數相結合 考查方程解的情況 例1 已知函數f x 4x3x2 3 x 0 2 1 求f x 的值域 x1 0 2 總存在x2 0 2 使f x1 g x2 0 求實數a的取值范圍 2 設a 0 函數g x ax3 a2x x 0 2 若對任意 解 1 方法一 對函數f x 求導 令f x 0 得x 1或x 1 當x 0 1 時 f x 0 f x 在 0 1 上單調遞增 當x 1 2 時 f x 0 f x 在 1 2 上單調遞減 2 設函數g x 在 0 2 上的值域是A 對任意x1 0 2 總存在x2 0 2 對函數g x 求導 得g x ax2 a2 當a 0時 g x 0 函數g x 在 0 2 上單調遞減 規(guī)律方法 1 求f x 的值域可以利用導數 也可以利用基本不等式求解 2 任意x1 0 2 總存在x2 0 2 使f x1 g x2 的本質就是函數f x 的值域是函數g x 值域的子集 1 2012年大綱 已知函數f x x3 x2 ax 互動探究 1 討論f x 的單調性 2 設f x 有兩個極值點x1 x2 若過兩點 x1 f x1 x2 f x2 的直線l與x軸的交點在曲線y f x 上 求a的值 解 1 依題意可得f x x2 2x a 當 4 4a 0 即a 1時 x2 2x a 0恒成立 故f x 0 當且僅當a 1 x 1時等號成立 所以函數f x 在R上單調遞增 當 4 4a 0 即a 1時 f x x2 2x a 0有兩個相異實根 題型2 函數中的數形結合思想 數形結合思想通過 以形助數 以數解形 使復雜問題簡單化 抽象問題具體化 能夠變抽象思維為形象思維 有助于把握數學問題的本質 它是數學的規(guī)律性與靈活性的有機結合 縱觀多年來的高考試題 巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題 可起到事半功倍的效果 數形結合的重點是研究 以形助數 例2 已知函數f x x3 3ax 1 a 0 1 求f x 的單調區(qū)間 2 若f x 在x 1處取得極值 直線y m與y f x 的圖 象有三個不同的交點 求m的取值范圍 解 1 f x 3x2 3a 3 x2 a 當a0 此時 f x 的單調遞增區(qū)間為 2 因為f x 在x 1處取得極值 所以f 1 3 1 2 3a 0 即a 1 所以f x x3 3x 1 f x 3x2 3 由f x 0 解得x1 1 x2 1 由 1 中f x 的單調性知 f x 在x 1處取得極大值f 1 1 在x 1處取得極小值f 1 3 如圖1 1 若直線y m與函數y f x 的 圖象有三個不同的交點 則 3 m 1 圖1 1 結合f x 的單調性知 m的取值范圍是 3 1 值范圍為 3 1 互動探究 1 求函數y f x 的單調區(qū)間 2 若函數y f x 的圖象與直線y 1恰有兩個交點 求a 的取值范圍 解 1 f x x3 ax2 2a2x x x 2a x a 令f x 0 得x1 2a x2 0 x3 a 當a 0時 f x 在f x 0根的左右的符號如下表 所以f x 的單調遞增區(qū)間為 2a 0 和 a f x 的單調遞減區(qū)間為 2a 和 0 a a4 1 如圖D12 1 或a4 1 如圖D12 2 要使f x 的圖象與直線y 1恰有兩個交點 只要 712 圖D12 圖1 2 2 請結合例2一起學習 例2中函數圖象確定 直線y m在動 變化 而本題中直線y 1確定 函數圖象在動 變化 數形結合中蘊含運動變化的思想 題型3 函數中的分類討論思想 分類討論 就是當問題所給的對象不能進行統一研究時 就需要對研究對象按某個標準分類 然后對每一類分別研究得出每一類的結論 最后綜合各類結果得到整個問題的解答 實質上 分類討論是 化整為零 各個擊破 再積零為整 的數學策略 縱觀每年全國各地的高考試題 幾乎所有的壓軸題都與分類討論有關 例3 已知函數f x ax lnx a為常數 1 當a 1時 求函數f x 的最值 2 求函數f x 在 1 上的最值 解 1 當a 1時 函數f x x lnx x 0 當x 0 1 時 f x 0 函數f x 在 0 1 上為減函數 當x 1 時 f x 0 函數f x 在 1 上為增函數 當x 1時 函數f x 有最小值 f x min f 1 1 f x 1 令f x 0 得x 1 1 求函數f x 互動探究 3 2014年湖北 為圓周率 e 2 71828 為自然對數的底數 lnxx 的單調區(qū)間 2 求e3 3e e e 3 3這6個數中的最大數與最 小數 x2 解 1 函數f x 的定義域為 0 因為f x lnxx 所以f x 1 lnx 當f x 0 即0 x e時 函數f x 單調遞增 當f x 0 即x e時 函數f x 單調遞減 故函數f x 的單調遞增區(qū)間為 0 e 單調遞減區(qū)間為 e 2 因為e 3 所以eln3 eln lne ln3 即ln3e ln e lne ln3 得ln 3 ln3 所以3 3 得ln3e lne3 所以3e e3 于是根據函數y lnx y ex y x在定義域上單調遞增 可得3e e 3 e3 e 3 故這6個數的最大數在 3與3 之中 最小數在3e與e3之中 由e 3 及 1 的結論 得f f 3 f e 即 ln ln3lne 3e 由 ln ln33 由 ln3lne3e 綜上所述 這6個數中的最大數是3 最小數是3e