專題三數列與不等式 題型1 等差 等比數列的綜合問題 等差數列與等比數列的綜合應用時常出現在全國各地高考試卷中 主要考查等差數列 等比數列的基本概念 基本公式 基本性質及基本運算 對于Sn與an的關系式 備考復習時應該予以重視 所以數列 bn 前n項和為b1 b2 bn 規(guī)律方法 已知數列前n項和與第n項關系 求數列通 項公式 常用 將所給條件化為關于前n項 和的遞推關系或是關于第n項的遞推關系 若滿足等比數列或等差數列定義 用等比數列或等差數列通項公式求出數列的通項公式 否則適當變形構造等比或等差數列求通項公式 互動探究 1 2015年山東 設數列 an 的前n項和為Sn 已知2Sn 3n 3 1 求 an 的通項公式 2 若數列 bn 滿足anbn log3an 求 bn 的前n項和Tn 解 1 因為2Sn 3n 3 所以2a1 3 3 6 a1 3 當n 1時 2Sn 1 3n 1 3 兩式相減 得2an 2Sn 2Sn 1 3n 3n 1 2 3n 1 即an 3n 1 兩式相減 得 題型2數列與函數的綜合問題 數列是一種離散的函數 與方程密不可分 因此 利用函數的方法來判斷數列的單調性 求數列的最值是高考的命題熱點 數列和不等式的綜合程度也在進一步加強 面也在進一步擴大 有數列本身內容的綜合 也有相關知識的綜合 還有思想方法的綜合 例2 2015年廣東廣州一模 已知點Pn an bn n N 在直線l y 3x 1上 P1是直線l與y軸的交點 數列 an 是公差為1的等差數列 1 求數列 an bn 的通項公式 1 解 因為P1 a1 b1 是直線l y 3x 1與y軸的交點 0 1 所以a1 0 b1 1 因為數列 an 是公差為1的等差數列 所以an n 1 因為點Pn an bn 在直線l y 3x 1上 所以bn 3an 1 3n 2 所以數列 an bn 的通項公式分別為an n 1 bn 3n 2 n N 互動探究 題型3數列與不等式的綜合問題 數列與不等式知識相結合的考查方式主要有三種 一是判斷數列問題中的一些不等關系 二是以數列為載體 考查不等式的恒成立問題 三是考查與數列問題有關的不等式的證明 在解決這些問題時 如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法 如比較法 綜合法 分析法等 如果是解不等式問題 要使用不等式的各種不同解法 如數軸法 因式分解法等 互動探究 解 1 設等比數列 an 的公比為q 依題意 有 由 得q2 3q 2 0 解得q 1或q 2 當q 1時 不合題意 舍去 當q 2時 代入 得a1 2 所以an 2 2n 1 2n 故所求數列 an 的通項公式an 2n n N