專題五立體幾何 題型1 三視圖與表面積 體積 三視圖是高考的新增考點 經(jīng)常以一道客觀題的形式出現(xiàn) 有時也和其他知識綜合作為解答題出現(xiàn) 2007年與2009年兩次涉及解答題 解題的關鍵還是要將三視圖轉化為簡單幾何體 或者其直觀圖 例1 2014年陜西 已知四面體ABCD 如圖5 1 及其三視圖 如圖5 2 平行于棱AD BC的平面分別交四面體的棱AB BD DC CA于點E F G H 1 求四面體ABCD的體積 2 證明 四邊形EFGH是矩形 圖5 1 圖5 2 1 解 由該四面體的三視圖 可知 BD DC BD AD AD DC BD DC 2 AD 1 AD 平面BCD 2 證明 BC 平面EFGH 平面EFGH 平面BDC FG 平面EFGH 平面ABC EH BC FG BC EH FG EH 同理 EF AD HG AD EF HG 四邊形EFGH是平行四邊形 又 AD 平面BCD AD BC AD EF BC FG EF FG 四邊形EFGH是矩形 規(guī)律方法 解決此類問題的一般步驟為 將三視圖轉化為簡單幾何體 或者其直觀圖 應遵循 長對正 高平齊 寬相等 的原則 即 正視圖 俯視圖一樣長 正視圖 側視圖一樣高 俯視圖 側視圖一樣寬 利用相關的體積 或面積 公式進行運算 利用相關定理進行平行或垂直的證明 互動探究 1 2014年廣東汕頭一模 已知某幾何體的直觀 如圖5 3 1 與它的三視圖 如圖5 3 2 其中俯視圖為正三角形 其他兩個視圖是矩形 已知D是這個幾何體的棱A1C1上的中點 1 求出該幾何體的體積 圖5 3 2 求證 直線BC1 平面AB1D 3 求證 平面AB1D 平面AA1D 圖D50 2 如圖D50 連接A1B 且A1B AB1 O 正三棱柱側面是矩形 點O是棱A1B的中點 D為棱A1C1的中點 連接DO DO是 A1BC1的中位線 BC1 DO 又DO 平面AB1D BC1平面AB1D BC1 平面AB1D 3 在正三棱柱ABC A1B1C1中 三角形A1B1C1為正三角形 B1D A1C1 又由正三棱柱性質(zhì)知平面A1B1C1 平面ACC1A1 且平面A1B1C1 平面ACC1A1 A1C1 B1D 平面A1B1C1 B1D 平面AA1D 又B1D 平面AB1D 平面AB1D 平面AA1D 題型2 立體幾何中的探索性問題 例2 如圖5 4 在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 DB BC DB AC 點M是棱BB1上一點 1 求證 B1D1 平面A1BD 2 求證 MD AC 3 試確定點M的位置 使得平面DMC1 平面CC1D1D 圖5 4 1 證明 由直四棱柱 得BB1 DD1 又 BB1 DD1 BB1D1D是平行四邊形 B1D1 BD 而BD 平面A1BD B1D1平面A1BD B1D1 平面A1BD 2 證明 BB1 平面ABCD AC 平面ABCD BB1 AC 又 BD AC 且BD BB1 B AC 平面BB1D 而MD 平面BB1D MD AC 3 解 當點M為棱BB1的中點時 平面DMC1 平面CC1D1D 理由如下 取DC的中點N D1C1的中點N1 連接NN1交DC1于O 連接OM 如圖5 5 圖5 5 N是DC的中點 BD BC BN DC 又 DC是平面ABCD與平面DCC1D1的交線 而平面ABCD 平面DCC1D1 BN 平面DCC1D1 又可證得O是NN1的中點 BM ON 且BM ON 即BMON是平行四邊形 BN OM OM 平面CC1D1D OM 平面DMC1 平面DMC1 平面CC1D1D 互動探究 2 2015年湖北 九章算術 中 將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬 將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑 在如圖5 6所示的陽馬P ABCD中 側棱PD 底面ABCD 且PD CD 點E是PC的中點 連接DE BD BE 圖5 6 1 證明 DE 平面PBC 試判斷四面體EBCD是否為鱉臑 若是 寫出其每個面的直角 只需寫出結論 若不是 請說明理由 2 記陽馬P ABCD的體積為V1 四面體EBCD的體積為 解 1 因為PD 底面ABCD 所以PD BC 由底面ABCD為長方形 有BC CD 而PD CD D 所以BC 平面PCD 因為DE 平面PCD 所以BC DE 又因為PD CD 點E是PC的中點 所以DE PC 而PC BC C 所以DE 平面PBC 由BC 平面PCD DE 平面PBC 可知四面體EBCD的 四個面都是直角三角形 即四面體EBCD是一個鱉臑 其四個面的直角分別是 BCD BCE DEC DEB 題型3 折疊問題 將平面圖形沿其中一條或幾條線段折起 使其成為空間圖形 把這類問題稱為平面圖形的翻折問題 平面圖形經(jīng)過翻折成為空間圖形后 原有的性質(zhì)有的發(fā)生了變化 有的沒有發(fā)生變化 弄清它們是解決問題的關鍵 一般地 翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化 不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化 解決這類問題就是要據(jù)此研究翻折以后的空間圖形中的線面關系和幾何量的度量值 這是化解翻折問題難點的主要方法 例3 如圖5 7 在邊長為4的菱形ABCD中 DAB 60 點E F分別在邊CD CB上 點E與點C D不重合 EF AC于點O 沿EF將 CEF翻折到 PEF的位置 使平面PEF 平面ABFED 1 求證 BD 平面POA 2 當PB取得最小值時 求四棱錐P BFED的體積 圖5 7 思維點撥 1 根據(jù)翻折前后直線BD與直線AO的垂直關系不變 可使用線面垂直判定定理進行證明 2 先選用一個與PB有關的變量表示PB的長度 使用函數(shù)的方法求出在什么情況下PB最小 再求出四棱錐P BFED的高和底面積 根據(jù)錐體體積公式計算即可 1 證明 因為菱形ABCD的對角線互相垂直 所以BD AC 所以BD AO 因為EF AC 所以PO EF 因為平面PEF 平面ABFED 平面PEF 平面ABFED EF 且PO 平面PEF 所以PO 平面ABFED 因為BD 平面ABFED 所以PO BD 因為AO PO O 又BD AO 所以BD 平面POA 2 解 設AO BD H 因為 DAB 60 所以 BDA為等邊三角形 設PO x 如圖5 8 連接OB PH 圖5 8 規(guī)律方法 有關折疊問題 一定要分清折疊前后兩圖形 折疊前的平面圖形和折疊后的空間圖形 各元素間的位置和數(shù)量關系 哪些變 哪些不變 如角的大小不變 線段長度不變 線線關系不變 再由面面垂直的判定定理進行推理證明 互動探究 3 2014年廣東 如圖5 9 1 四邊形ABCD為矩形 PD 平面ABCD AB 1 BC PC 2 作如圖5 9 2 折疊 折痕EF DC 其中點E F分別在線段PD PC上 沿EF折疊后點P在線段AD上的點記為M 并且MF CF 1 證明 CF 平面MDF 2 求三棱錐M CDE的體積 1 2 圖5 9 1 證明 四邊形ABCD為矩形 AD CD PD 平面ABCD AD 平面ABCD PD AD 又PD CD D AD 平面PCD 又CF 平面PCD AD CF 即CF MD 又MF CF MF MD M CF 平面MDF 2 解 CF 平面MDF CF DF 由PC 2 CD AB 1 且PD CD