第3講充分條件與必要條件 1 2015年重慶 x 1 是 x2 2x 1 0 的 A A 充要條件B 充分不必要條件C 必要不充分條件D 既不充分也不必要條件解析 由 x 1 顯然能推出 x2 2x 1 0 故條件是充分的 又由 x2 2x 1 0 可得 x 1 2 0 x 1 所以條件也是必要的 故選A 2 2015年安徽 設(shè)p x 3 q 1 x 3 則p是q成 立的 C A 充分必要條件B 充分不必要條件C 必要不充分條件D 既不充分也不必要條件解析 p x 3 q 1 x 3 q p 但pq p是成立的必要不充分條件 故選C 3 2015年浙江 設(shè)a b是實(shí)數(shù) 則 a b 0 是 ab 0 的 D A 充分不必要條件C 充分必要條件 B 必要不充分條件D 既不充分也不必要條件 解析 本題采用特殊值法 當(dāng)a 3 b 1時 a b 0 但ab 0 故是不充分條件 當(dāng)a 3 b 1時 ab 0 但a b 0 故是不必要條件 所以 a b 0 是 ab 0 的既不充分也不必要條件 故選D 4 一元二次方程ax2 2x 1 0 a 0 有一個正根和一個負(fù) 根的充分不必要條件是 A a 0C a 1 B a 0D a 1 解析 一元二次方程ax2 2x 1 0 a 0 有一個正根和一 0 的真子集 只有C符合題意 C 個負(fù)根 則x1x2 0 a 0 其充分不必要條件應(yīng)該是集合 考點(diǎn)1利用定義法判斷充要關(guān)系例1 1 2015年湖南 設(shè)x R 則 x 1 是 x2 1 的 A 充分不必要條件C 充要條件 B 必要不充分條件D 既不充分也不必要條件 解析 由題易知 x 1 可以推得 x2 1 x2 1 不一定得到 x 1 所以 x 1 是 x2 1 的充分不必要條件 故選A 答案 A 2 2015年上海 設(shè)z1 z2 C 則 z1 z2均為實(shí)數(shù) 是 z1 z2是實(shí)數(shù) 的 A 充分不必要條件C 充要條件 B 必要不充分條件D 既不充分又不必要條件 答案 A 解析 若z1 z2均為實(shí)數(shù) 顯然z1 z2是實(shí)數(shù) 若z1 z2是實(shí)數(shù) z1 z2不一定都為實(shí)數(shù) 如z1 1 2i z2 5 2i 所以 z1 z2均為實(shí)數(shù) 是 z1 z2是實(shí)數(shù) 的充分不必要條件 故選A 規(guī)律方法 充要條件的判斷步驟 確定條件是什么 結(jié)論是什么 嘗試從條件推結(jié)論 結(jié)論推條件 確定條件與結(jié)論之間的關(guān)系 互動探究 1 2014年浙江 設(shè)四邊形ABCD的兩條對角線為AC BD 則 四邊形ABCD為菱形 是 AC BD 的 A A 充分不必要條件C 充要條件 B 必要不充分條件D 既不充分也不必要條件 解析 四邊形ABCD為菱形 則 AC BD 而 AC BD 時 四邊形ABCD不一定為菱形 因為ABCD有可能不是平面圖形 所以 四邊形ABCD為菱形 是 AC BD 的充分不必要條件 故選A 考點(diǎn)2利用等價法判斷充要關(guān)系例2 2013年山東 給定兩個命題p q 若p是q的必要 不充分條件 則p是q的 A 充分不必要條件C 充要條件 B 必要不充分條件D 既不充分也不必要條件 解析 若p是q的必要不充分條件 有p q 其逆否命題為p q 故p是q的充分不必要條件 故選A 答案 A 規(guī)律方法 對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題 除借助集合思想把抽象 復(fù)雜的問題形象化 直觀化外 還可利用原命題和逆否命題 逆命題和否命題的等價性 轉(zhuǎn)化為判斷所求命題的等價命題 互動探究 2 2013年上海 錢大姐常說 便宜沒好貨 她這句話的 意思是 不便宜 是 好貨 的 B A 充分條件C 充要條件 B 必要條件D 既不充分也不必要條件 解析 便宜 沒好貨 的逆否命題是 好貨 不便宜 不便宜 是 好貨 的必要條件 故選B 考點(diǎn)3利用集合法判斷充要關(guān)系例3 1 2015年天津 設(shè)x R 則 x 2 1 是 x2 x 2 0 的 A 充分不必要條件C 充要條件 B 必要不充分條件D 既不充分也不必要條件 解析 x 2 1 1 x 2 1 1 x 3 x2 x 2 0 x 2 或x 1 所以 x 2 1 是 x2 x 2 0 的充分不必要條件 故選A 答案 A A 充要條件B 充分不必要條件C 必要不充分條件D 既不充分也不必要條件答案 B 規(guī)律方法 1 如果命題成立與否與集合相關(guān) 此時常通 過集合的關(guān)系來判斷條件的充分性 必要性 2 集合法 從集合觀點(diǎn)看 建立與命題p q相應(yīng)的集合 p A x p x 成立 q B x q x 成立 那么若A B 則p是q的充分條件 q是p的必要條件 若AB 則p是q的充分不必要條件 q是p的必要不充分條件 若A B 則p是q的充要條件 若AB 且BA 則p既不是q的充分條件 也不是q的必要條件 思想與方法 利用分類討論及轉(zhuǎn)化化歸思想求參數(shù)的范圍例題 已知p 1 2x 5 q x2 4x 4 9m2 0 若p是q的充分不必要條件 求實(shí)數(shù)m的取值范圍 解 解不等式 得p 2 x 3 當(dāng)m 0時 q 2 3m x 2 3m 若p是q的充分不必要條件 即p q 等價于q p 當(dāng)m 0時 q 2 3m x 2 3m 若p是q的充分不必要條件 即p q 等價于q p 規(guī)律方法 1 p是q的充分條件 即p q 其逆否命題為q p 即q是p的充分條件 從而避免求補(bǔ)集 2 將充要關(guān)系的判定轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系 A B 即A是B的充分條件 B是A的必要條件 A B 即A是B的充要條件 3 解不等式時 要注意對參數(shù)m分類討論 1 判斷命題的充分 必要關(guān)系需注意 一要分清命題的條件和結(jié)論 二要善于將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言進(jìn)行推理 三要注意轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用 通常把一個正面較難判斷的命題轉(zhuǎn)化為它的等價命題進(jìn)行判斷 四當(dāng)判斷多個命題之間的關(guān)系時 常用圖示法 它能使問題更直觀 更易于判斷 2 注重集合與邏輯問題的轉(zhuǎn)化 如將充要關(guān)系的判定轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系 A B即A是B的充分條件 B是A的必要條件 A B即A是B的充分必要條件 3 判斷p與q之間的關(guān)系時 要注意p與q之間關(guān)系的方向性 充分條件與必要條件方向正好相反 很容易混淆