第七章解析幾何 第1講直線的方程 1 直線的傾斜角 0 0 1 定義 當(dāng)直線l與x軸相交時 取x軸作為基準(zhǔn) x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角 叫做直線l的傾斜角 當(dāng)直線l與x軸平行或重合時 規(guī)定它的傾斜角為 2 傾斜角的取值范圍是 2 直線的斜率 1 定義 當(dāng) 90 時 一條直線的傾斜角 的正切值叫做這條直線的斜率 斜率通常用小寫字母k表示 即k tan 當(dāng) 90 時 直線沒有斜率 2 經(jīng)過兩點的直線的斜率公式 經(jīng)過兩點P1 x1 y1 P2 x2 y2 x1 x2 的直線的斜率公式 為 3 直線方程的五種形式 y kx b x x1 y y1 4 過點P1 x1 y1 P2 x2 y2 的直線方程 1 若x1 x2 且y1 y2時 則直線垂直于x軸 方程為 2 若x1 x2 且y1 y2時 則直線垂直于y軸 方程為 5 線段的中點坐標(biāo)公式若點P1 P2的坐標(biāo)分別為 x1 y1 x2 y2 線段P1P2的 A 30 B 60 C 150 D 120 直線l的方程為 C A A 3x 4y 14 0C 4x 3y 14 0 B 3x 4y 14 0D 4x 3y 14 0 3 已知點A 1 2 B 3 1 則線段AB的垂直平分線的方程 為 B A 4x 2y 5C x 2y 5 B 4x 2y 5D x 2y 5 4 若直線3x y a 0過圓x2 y2 2x 4y 0的圓心 則 a的值為 A 1 B 1 C 3 D 3 等于 B 考點1 直線的傾斜角和斜率 例1 已知兩點A 2 3 B 3 0 過點P 1 2 的直線l與線段AB始終有公共點 求直線l的斜率k的取值范圍 解 方法一 如圖D33 直線PA的斜率是圖D33 方法二 設(shè)直線l的方程為y 2 k x 1 即kx y k 2 0 直線l與線段AB有公共點 則點A B在直線l的兩側(cè) 或在直線上 有 k 2 3 k 2 3k k 2 0 1 已知直線l經(jīng)過點P 1 1 且與線段MN相交 M 2 3 N 3 2 則直線l的斜率k的取值范圍是 互動探究 考點2 求直線方程 例2 1 直線l1 3x y 1 0 直線l2過點 1 0 且l2的 傾斜角是l1的傾斜角的2倍 則直線l2的方程為 A y 6x 1 B y 6 x 1 方法二 由l2過點 1 0 排除A選項 由l1的斜率k1 3 1知 其傾斜角大于45 從而直線l2的傾斜角大于90 斜率為負(fù)值 排除B C選項 故選D 答案 D 2 已知直線l ax y 2 a 0在x軸和y軸上的截距相 等 則a的值是 A 1 B 1 C 2或 1 D 2或1 答案 D 規(guī)律方法 第 1 小題中直線l2的傾斜角是l1的傾斜角的2倍 不要理解為l2的斜率為l1的斜率的2倍 應(yīng)該設(shè)直線l1的傾斜角為 由tan 3 可求出直線l2的斜率k tan2 第 2 小題中直線在x軸和y軸上的截距是指直線與x軸和y軸焦點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo) 既然是坐標(biāo) 就可正可負(fù) 千萬不要與距離混淆 還要注意直線過原點時 橫 縱截距都為0 千萬不要認(rèn)為此時沒有截距 互動探究 2 已知點A 3 4 1 經(jīng)過點A 且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為 2 經(jīng)過點A 且與兩坐標(biāo)軸圍成一個等腰直角三角形的直 線方程為 3 經(jīng)過點A 且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍 的直線方程為 答案 1 4x 3y 0或x y 7 0 2 x y 1 0或x y 7 0 3 x 2y 11 0 考點3 直線方程的綜合應(yīng)用 例3 如圖7 1 1 過點P 2 1 的直線l交x軸 y軸正半軸于A B兩點 求滿足 圖7 1 1 1 AOB面積最小時l的方程 2 PA PB 最小時l的方程 思維點撥 可設(shè)截距式方程 再由均值不等式求解 也可設(shè)點斜式方程 求出與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo) 再由均值不等式求解 PA PB 取最小值4 此時直線l的方程為x y 3 0 方法二 設(shè)直線l的方程為y 1 k x 2 k 0 3 已知直線x 2y 2與x軸 y軸分別相交于A B兩點 若動點P a b 在線段AB上 則ab的最大值為 互動探究 思想與方法 直線中的函數(shù)與方程思想 例題 如果直線l經(jīng)過點P 2 1 且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角 形面積為S 1 當(dāng)S 3時 這樣的直線l有多少條 2 當(dāng)S 4時 這樣的直線l有多少條 3 當(dāng)S 5時 這樣的直線l有多少條 4 若這樣的直線l有且只有2條 求S的取值范圍 5 若這樣的直線l有且只有3條 求S的取值范圍 6 若這樣的直線l有且只有4條 求S的取值范圍 前一個方程 0有兩個不相等的解 后一個方程 0有兩 個不相等的解 所以這樣的直線l共有4條 4 若這樣的直線l有且只有2條 則 即a2 2Sa 4S 0或a2 2Sa 4S 0 后一個方程 0恒成立 肯定有兩個不相等的解 所以如果這樣的直線只有2條 那么前一個方程必須有 0 即 2S 2 4 4S 0 故S的取值范圍為 0 4 5 若這樣的直線l有且只有3條 即a2 2Sa 4S 0或a2 2Sa 4S 0 后一個方程 0恒成立 肯定有兩個不相等的解 所以如果這樣的直線只有3條 那么前一個方程必須有 0 即 2S 2 4 4S 0 故S 4 6 若這樣的直線l有且只有4條 即a2 2Sa 4S 0或a2 2Sa 4S 0 后一個方程 0恒成立 肯定有兩個不相等的解 所以如果這樣的直線只有4條 那么前一個方程必須有 0 即 2S 2 4 4S 0 故S的取值范圍為 4 規(guī)律方法 因為關(guān)系到直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積 因此解本題的關(guān)鍵就在于學(xué)生能否很敏銳地想到利用直線 想 應(yīng)把握題型 注意一題多變 培養(yǎng)思維的靈活性和發(fā)散性 3 求直線的方程可分為兩種類型 一是根據(jù)題目條件確定點和斜率或兩個點 進而選擇相應(yīng)的直線方程形式 寫出方程 這是直接法 二是根據(jù)直線在題目中所具有的某些性質(zhì) 先設(shè)出方程 含參數(shù) 再確定其中的參數(shù)值 然后寫出方程 這是間接法 4 求直線方程時要注意判斷斜率是否存在 還要注意斜率為0 直線過原點等特殊情形