第4講直線與圓的位置關(guān)系 1 直線與圓的位置關(guān)系 2 兩圓的位置關(guān)系 3 計(jì)算直線被圓截得的弦長(zhǎng)的常用方法 1 幾何方法 運(yùn)用弦心距 即圓心到直線的距離 弦長(zhǎng)的 一半及半徑構(gòu)成的直角三角形計(jì)算 2 代數(shù)方法 運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式 說(shuō)明 圓的弦長(zhǎng) 弦心距的計(jì)算常用幾何方法 4 圓的切線方程常用結(jié)論 1 過(guò)圓x2 y2 r2上一點(diǎn)P x0 y0 的圓的切線方程為x0 x y0y r2 2 過(guò)圓 x a 2 y b 2 r2上一點(diǎn)P x0 y0 的圓的切線方程為 x0 a x a y0 b y b r2 3 過(guò)圓x2 y2 r2外一點(diǎn)M x0 y0 作圓的兩條切線 則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0 x y0y r2 1 圓 x 2 2 y2 4與圓 x 2 2 y 1 2 9的位置關(guān)系為 B A 內(nèi)切 B 相交 C 外切 D 相離 2 2013年浙江 直線y 2x 3被圓x2 y2 6x 8y 0所截 得的弦長(zhǎng)等于 x 1 2 y2 2 3 已知圓C的圓心是直線x y 1 0與x軸的交點(diǎn) 且圓C與直線x y 3 0相切 則圓C的方程為 4 2013年天津 已知過(guò)點(diǎn)P 2 2 的直線與圓 x 1 2 y2 5 相切 且與直線ax y 1 0垂直 則a C 考點(diǎn)1 直線與圓的位置關(guān)系 例1 1 2015年湖南 若直線3x 4y 5 0與圓x2 y2 r2 r 0 相交于A B兩點(diǎn) 且 AOB 120 O為坐標(biāo)原點(diǎn) 則r 圖D35 答案 2 2 2015年重慶 若點(diǎn)P 1 2 在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓上 則該圓在點(diǎn)P處的切線方程為 解析 由點(diǎn)P 1 2 在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓上知此圓的方程為 x2 y2 5 所以該圓在點(diǎn)P處的切線方程為1 x 2 y 5即x 2y 5 0 故填 x 2y 5 0 答案 x 2y 5 0 3 2015年新課標(biāo) 過(guò)三點(diǎn)A 1 3 B 4 2 C 1 7 的 圓交y軸于M N兩點(diǎn) 則 MN 答案 C 規(guī)律方法 1 判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法 幾 何法和代數(shù)法 根的判別式 2 關(guān)于圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題 可用幾何法從半徑 弦心距 弦長(zhǎng)的一半所組成的直角三角形求解 也可用代數(shù)法的弦長(zhǎng)公式求解 考點(diǎn)2圓與圓的位置關(guān)系 例2 1 若圓x2 y2 2mx m2 4 0與圓x2 y2 2x 4my 4m2 8 0相切 則實(shí)數(shù)m的取值集合是 2 2011年大綱 設(shè)兩圓C1 C2都和兩坐標(biāo)軸相切 且都過(guò) 點(diǎn) 4 1 則兩圓心的距離 C1C2 答案 C 規(guī)律方法 1 判斷圓與圓的位置關(guān)系利用圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系 2 兩圓相切包括內(nèi)切和外切 兩圓相離包括外離和內(nèi)含 互動(dòng)探究 C 1 2014年湖南 若圓C1 x2 y2 1與圓C2 x2 y2 6x 8y m 0外切 則m A 21 B 19 C 9 D 11 考點(diǎn)3 直線與圓的綜合應(yīng)用 例3 已知圓C x2 y2 x 6y m 0和直線x 2y 3 0相交于P Q兩點(diǎn) 若OP OQ 求m的值 思維點(diǎn)撥 本題主要考查直線的方程 直線與圓的位置關(guān)系 根與系數(shù)的關(guān)系及均值不等式等知識(shí)點(diǎn) 消去y 得5x2 10 x 4m 27 0 則 0 1 2 0 2 2 r2 5 在Rt CMQ中 CM2 MQ2 CQ2 方法四 設(shè)過(guò)P Q的圓系方程為x2 y2 x 6y m x 2y 3 0 由OP OQ知 點(diǎn)O 0 0 在圓上 m 3 0 即m 3 m 3 圓的方程化為x2 y2 x 6y 3 x 2 y 3 0 即x2 1 x y2 2 3 y 0 規(guī)律方法 求解本題時(shí) 應(yīng)避免去求P Q兩點(diǎn)坐標(biāo)的具體數(shù)值 除此之外 還應(yīng)對(duì)求出的m值進(jìn)行必要的檢驗(yàn) 這是因?yàn)樵谇蠼膺^(guò)程中并沒(méi)有確保有交點(diǎn)存在 這一點(diǎn)很容易被同學(xué)們忽略 方法一顯示了解這類題的通法 方法二的關(guān)鍵在于 但需要一定的變形技巧 同時(shí)也可看出 這種方法一氣呵成 互動(dòng)探究 2 2015年新課標(biāo) 已知過(guò)點(diǎn)A 0 1 且斜率為k的直線l與圓C x 2 2 y 3 2 1交于M N兩點(diǎn) 1 求k的取值范圍 解 1 由題設(shè) 可知直線l的方程為y k x 1 易錯(cuò) 易混 易漏 忽略斜率不存在的情形及轉(zhuǎn)化不等價(jià)致誤 正解 當(dāng)斜率k不存在時(shí) 過(guò)點(diǎn)P的直線方程為x 3 代入x2 y2 25 得y1 4 y2 4 弦長(zhǎng)為 y1 y2 8 符合題意 所求直線方程為x 3 0或3x 4y 15 0 答案 x 3 0或3x 4y 15 0 的取值范圍為 A k 0B k 0 或k 1C k 1 或k1 或k 1 圖7 4 1 答案 D 規(guī)律方法 1 判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法 幾 何法和代數(shù)法 根的判別式 2 求弦長(zhǎng)的兩種方法 幾何法 利用點(diǎn)到直線的距離公式求圓心到直線的距離 利用勾股定理 垂徑定理求弦長(zhǎng) 3 本題還要注意 斜率不存在時(shí)直線x 3 0也符合題意 1 解決有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題的兩種方法 2 過(guò)一點(diǎn)求圓的切線方程的方法 1 過(guò)圓上一點(diǎn) x0 y0 的圓的切線方程的求法 先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k 由垂直關(guān)系知切線斜率為 形寫出切線方程x x0 2 過(guò)圓外一點(diǎn) x0 y0 的圓的切線方程的求法 設(shè)斜率為k 切線方程為y y0 k x x0 即kx y y0 kx0 0 由圓心到直線的距離等于半徑 即可得出切線方程 注意過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線一定有兩條 千萬(wàn)不要遺漏 特別當(dāng)算出的k值只有一個(gè)時(shí) 結(jié)合圖形檢驗(yàn) 一定不要忽視斜率不存在的情況 3 直線與圓相交求弦長(zhǎng)的兩種方法 2 幾何法 利用點(diǎn)到直線的距離公式求圓心到直線的距 離 利用勾股定理 垂徑定理求弦長(zhǎng) 4 圓系方程 1 設(shè)兩圓C1 x2 y2 D1x E1y F1 0 C2 x2 y2 D2x E2y F2 0 若兩圓相交 則兩圓的公共弦所在的直線方程是 D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0 2 過(guò)圓C x2 y2 Dx Ey F 0和直線l ax by c 0的交點(diǎn)的圓系方程為x2 y2 Dx Ey F ax by c 0 3 過(guò)兩圓C1 x2 y2 D1x E1y F1 0 C2 x2 y2 D2x E2y F2 0的交點(diǎn)的圓系方程為x2 y2 D1x E1y F1 x2 y2 D2x E2y F2 0 不表示圓C2