第3講圓的方程 1 圓的定義在平面內(nèi) 到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓 確定一個圓最基本的要素是圓心和半徑 2 圓的標準方程 a b x2 y2 r2 1 方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 表示圓心為 半徑為r的圓的標準方程 2 特別地 以原點為圓心 半徑為r r 0 的圓的標準方程為 3 圓的一般方程 5 兩圓的位置關系 2 設兩圓的半徑分別為R r 圓心距為d 兩圓相外離 d R r 公切線條數(shù)為4條 兩圓相外切 d R r 公切線條數(shù)為3條 兩圓相交 R r d R r 公切線條數(shù)為 條 兩圓內(nèi)切 d R r 公切線條數(shù)為1條 兩圓內(nèi)含 d R r 無公切線 1 圓心為 0 4 且過點 3 0 的圓的方程為 A D B 2 3 A 2 3 C 2 3 D 2 3 A x2 y 4 2 25B x2 y 4 2 25C x 4 2 y2 25D x 4 2 y2 252 圓x2 y2 4x 6y 0的圓心坐標是 3 若直線y x b平分圓x2 y2 8x 2y 8 0的周長 則 b A 3 B 5 C 3 D 5 4 以點 2 1 為圓心 且與直線x y 6相切的圓的方程 是 D 考點1 求圓的方程 例1 1 求經(jīng)過點A 5 2 B 3 2 圓心在直線2x y 3 0上的圓的方程 2 設圓上的點A 2 3 關于直線x 2y 0的對稱點仍在這個 程 3 一圓經(jīng)過A 4 2 B 1 3 兩點 且在兩坐標軸上的四個截距的和為2 求此圓的方程 由題意知 D E 2 即D E 2 0 又因為圓過點A B 所以16 4 4D 2E F 0 1 9 D 3E F 0 解 組成的方程組得D 2 E 0 F 12 故所求圓的方程為x2 y2 2x 12 0 規(guī)律方法 1 確定一個圓的方程 需要三個獨立條件 選形式 定參數(shù) 是求圓的方程的基本方法 是指根據(jù)題設條件恰當選擇圓的方程的形式 進而確定其中的三個參數(shù) 因此利用待定系數(shù)法求圓的方程時 不論是設哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個獨立方程 2 研究圓的問題 既要理解代數(shù)方法 熟練運用解方程思想 又要重視幾何性質(zhì)及定義的運用 以降低運算量 總之 要數(shù)形結合 拓寬解題思路 與弦長有關的問題經(jīng)常需要用到點到直線的距離公式 勾股定理 垂徑定理等 互動探究 D 1 2015年北京 圓心為 1 1 且過原點的圓的方程是 x 1 2 y 1 2 2 故選D A x 1 2 y 1 2 1B x 1 2 y 1 2 1C x 1 2 y 1 2 2D x 1 2 y 1 2 2 考點2 與圓有關的最值問題 例2 已知實數(shù)x y滿足方程x2 y2 4x 1 0 求 2 y x的最小值 3 x2 y2的最大值和最小值 解 1 方法一 如圖D34 方程x2 y2 4x 1 0 圖D34 線與圓相切 斜率取得最大或最小值 x可看作直線y x b在y軸上的截距 x2 y2是圓上一點與原點距離的平方 可借助平面幾何的知識 利用數(shù)形結合求解 涉及與圓有關的最值問題 可借助圖形性質(zhì) 利用數(shù)形結合求解 一般地 最值問題 形如t ax by形式的最值問題 可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題 形如 x a 2 y b 2形式的最值問題 可轉(zhuǎn)化為圓心已定的動圓半徑的最值問題 2 已知實數(shù)x y滿足 x 2 2 y 1 2 1 則2x y的最大 值為 最小值為 互動探究 考點3 圓的綜合應用 例3 1 2014年大綱 直線l1和l2是圓x2 y2 2的兩條切線 若l1與l2的交點為 1 3 則l1與l2的交角的正切值等于 圖7 3 1 答案 43 2 2014年重慶 已知直線x y a 0與圓心為C的圓x2 y2 2x 4y 4 0相交于A B兩點 且AC BC 則實數(shù)a的值為 解析 圓C的標準方程為 x 1 2 y 2 2 9 所以圓C的圓心為 1 2 半徑r 3 又直線x y a 0與圓C交于A B兩點 且AC BC 答案 0或6 互動探究 A 3 2013年重慶 已知圓C1 x 2 2 y 3 2 1 圓C2 x 3 2 y 4 2 9 M N分別是圓C1 C2上的動點 P為x軸上的動點 則 PM PN 的最小值為 思想與方法 利用函數(shù)與方程的思想探討與圓有關的定值問題 1 求橢圓E的方程 2 如圖7 3 2 設橢圓E的上 下頂點分別為A1 A2 P是橢圓上異于A1 A2的任一點 直線PA1 PA2分別交x軸于點N M 若直線OT與過點M N的圓G相切 切點為T 證明 線段OT的長為定值 并求出該定值 圖7 3 2 方法二 由 1 知 A1 0 1 A2 0 1 設P x0 y0 由切割線定理 得OT2 OM ON 4 OT 2 即線段OT的長度為定值2 規(guī)律方法 本題涉及橢圓 圓 多條直線及多個點 先設點P x0 y0 求出直線PA1 直線PA2的方程 進一步求出點M N的坐標是基礎 再設圓心為G 則OT2 OG2 r2或直接利用切割線定理OT2 OM ON求解 1 確定一個圓的方程 需要三個獨立條件 選形式 定參數(shù) 是求圓的方程的基本方法 是指根據(jù)題設條件恰當選擇圓的方程的形式 進而確定其中的三個參數(shù) 求圓的方程需要三個獨立條件 所以不論是設哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個獨立方程 2 解答圓的問題 應注意數(shù)形結合 充分運用圓的幾何性 質(zhì) 簡化運算 3 常用結論 1 以A x1 y1 B x2 y2 為直徑端點的圓方程為 x x1 x x2 y y1 y y2 0 2 若圓 x a 2 y b 2 r2與x軸相切 則 b r 若圓 x a 2 y b 2 r2與y軸相切 則 a r 3 若圓x2 y2 Dx Ey F 0關于x軸對稱 則E 0 若圓x2 y2 Dx Ey F 0關于y軸對稱 則D 0 若圓x2 y2 Dx Ey F 0關于y x軸對稱 則D E