第2講兩直線的位置關(guān)系 1 兩條直線的位置關(guān)系 續(xù)表 1 2 三個(gè)距離公式 1 如果直線ax 2y 2 0與直線3x y 2 0平行 那么 B D 實(shí)數(shù)a A 3 B 6 2 已知兩條直線y ax 2和y a 2 x 1互相垂直 則a A 2 B 1 C 0 D 1 3 圓C x2 y2 2x 4y 4 0的圓心到直線3x 4y 4 0的距離d 4 若點(diǎn)A 3 m 與點(diǎn)B 0 4 的距離為5 則m 3 0或8 考點(diǎn)1 兩直線的平行與垂直關(guān)系 例1 已知直線l1 x my 6 0 l2 m 2 x 3y 2m 0 求m的值 使得 1 l1與l2相交 2 l1 l2 3 l1 l2 4 l1 l2重合 解 1 由已知1 3 m m 2 即m2 2m 3 0 解得m 1 且m 3 故當(dāng)m 1 且m 3時(shí) l1與l2相交 3 當(dāng)1 3 m m 2 且1 2m 6 m 2 或m 2m 3 6 即m 1時(shí) l1 l2 4 當(dāng)1 3 m m 2 且1 2m 6 m 2 即m 3時(shí) l1與l2重合 規(guī)律方法 1 充分掌握兩直線平行與垂直的條件是解決本題的關(guān)鍵 對(duì)于斜率都存在且不重合的兩條直線l1和l2 l1 l2 k1 k2 l1 l2 k1 k2 1 若有一條直線的斜率不存在 那么另一條直線的斜率是多少一定要特別注意 2 設(shè)l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 則l1 l2 A1A2 B1B2 0 1 已知直線l1的斜率為2 l1 l2 直線l2過點(diǎn) 1 1 且與 y軸交于點(diǎn)P 則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 D A 3 0 C 0 3 B 3 0 D 0 3 解析 由題意知 直線l2的方程為y 1 2 x 1 令x 0 得y 3 即點(diǎn)P的坐標(biāo)為 0 3 互動(dòng)探究 2 2013年山東 過點(diǎn) 3 1 作圓 x 2 2 y 2 2 4的弦 其 中最短弦的長(zhǎng)為 考點(diǎn)2 直線系中的過定點(diǎn)問題 例2 求證 不論m取什么實(shí)數(shù) 直線 m 1 x 2m 1 y m 5都通過一定點(diǎn) 證明 方法一 取m 1 得直線方程y 4 從而得兩條直線的交點(diǎn)為 9 4 又當(dāng)x 9 y 4時(shí) 有9 m 1 4 2m 1 m 5 即點(diǎn) 9 4 在直線 m 1 x 2m 1 y m 5上 故直線 m 1 x 2m 1 y m 5都通過定點(diǎn) 9 4 方法二 m 1 x 2m 1 y m 5 m x 2y 1 x y 5 0 則直線 m 1 x 2m 1 y m 5都通過直線x 2y 1 0與x y 5 0的交點(diǎn) 直線 m 1 x 2m 1 y m 5通過定點(diǎn) 9 4 方法三 m 1 x 2m 1 y m 5 m x 2y 1 x y 5 由m為任意實(shí)數(shù)知 關(guān)于m的一元一次方程m x 2y 1 x y 5的解集為R 直線 m 1 x 2m 1 y m 5都通過定點(diǎn) 9 4 規(guī)律方法 本題考查了方程思想在解題中的應(yīng)用 構(gòu)建方程組求解是解決本題的關(guān)鍵 很多學(xué)生不理解直線過定點(diǎn)的含義 找不到解決問題的切入點(diǎn) 從而無法下手 互動(dòng)探究 B 3 直線 2k 1 x k 3 y k 11 0 k R 所經(jīng)過的定點(diǎn) 是 A 5 2 B 2 3 D 5 9 考點(diǎn)3 對(duì)稱問題 例3 已知在直線l 3x y 1 0上存在一點(diǎn)P 使得P到點(diǎn)A 4 1 和點(diǎn)B 3 4 的距離之和最小 求此時(shí)的距離之和 解 設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線3x y 1 0的對(duì)稱點(diǎn)為B a b 如圖7 2 1 圖7 2 1 規(guī)律方法 在直線上求一點(diǎn) 使它到兩定點(diǎn)的距離之和 最小的問題 當(dāng)兩定點(diǎn)分別在直線的異側(cè)時(shí) 兩點(diǎn)連線與直線的交點(diǎn) 即為所求 當(dāng)兩定點(diǎn)在直線的同一側(cè)時(shí) 可借助點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱 將問題轉(zhuǎn)化為情形 來解決 互動(dòng)探究 B 4 2012年大綱 正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1 點(diǎn)E在邊AB上 運(yùn)動(dòng) 每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈 反彈時(shí)反射角等于入射角 當(dāng)點(diǎn)P第一次碰到E時(shí) P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為 A 8 B 6 C 4 D 3 解析 結(jié)合已知中的點(diǎn)E F的位置 進(jìn)行作圖 推理可知 在反射的過程中 直線是平行的 那么利用平行關(guān)系 作圖 可以得到回到E點(diǎn)時(shí) 需要碰撞6次即可 易錯(cuò) 易混 易漏 忽略直線方程斜率不存在的特殊情形致誤 例題 過點(diǎn)P 1 2 引一條直線l 使它到點(diǎn)A 2 3 與到點(diǎn) B 4 5 的距離相等 求該直線l的方程 錯(cuò)因分析 設(shè)直線方程 只要涉及直線的斜率 易忽略斜 率不存在的情形 要注意分類討論 正解 方法一 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí) 直線l x 1 顯然與點(diǎn)A 2 3 B 4 5 的距離相等 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí) 設(shè)斜率為k 則直線l的方程為y 2 k x 1 即kx y 2 k 0 故所求直線l的方程為x 3y 5 0或x 1 當(dāng)直線l過AB的中點(diǎn)時(shí) AB的中點(diǎn)為 1 4 直線l的方程為x 1 故所求直線l的方程為x 3y 5 0或x 1 失誤與防范 方法一是常規(guī)解法 本題可以利用代數(shù)方法求解 即設(shè)點(diǎn)斜式方程 然后利用點(diǎn)到直線的距離公式建立等式求斜率k 但要注意斜率不存在的情況 很容易漏解且計(jì)算量較大 方法二利用數(shù)形結(jié)合的思想使運(yùn)算量大為減少 即A B兩點(diǎn)到直線l的距離相等 有兩種情況 直線l與AB平行 直線l過AB的中點(diǎn) 1 兩直線的位置關(guān)系要考慮平行 垂直和重合 對(duì)于斜率都存在且不重合的兩條直線l1 l2 l1 l2 k1 k2 l1 l2 k1 k2 1 根據(jù)兩直線的方程判斷兩直線的位置關(guān)系時(shí) 要特別注意斜率是否存在 對(duì)于斜率不存在的情況要單獨(dú)考慮 注意斜率相等并不是兩直線平行的充要條件 斜率互為負(fù)倒數(shù)也不是兩直線垂直的充要條件 2 直線系 與直線Ax By C 0平行的直線系方程為Ax By C 0 與直線Ax By C 0垂直的直線系方程為Bx Ay C 0 過兩直線l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0的交點(diǎn)的直線系方程為a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 為參數(shù) 3 對(duì)稱問題包括中心對(duì)稱和軸對(duì)稱兩種情形 其中 中心對(duì)稱一般是中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用 軸對(duì)稱一般要用到中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式 垂直 光線的反射問題具有入射角等于反射角的特點(diǎn) 這樣就有兩種對(duì)稱關(guān)系 一是入射光線與反射光線關(guān)于過反射點(diǎn)且與反射軸垂直的直線 法線 對(duì)稱 二是入射光線與反射光線所在直線關(guān)于反射軸對(duì)稱