第6講雙曲線 1 雙曲線的概念 常數(shù)且a 0 c 0 a c 1 當(dāng) 時(shí) 點(diǎn)M的軌跡是雙曲線 2 當(dāng)a c時(shí) 點(diǎn)M的軌跡是兩條射線 3 當(dāng)a c時(shí) 點(diǎn)M不存在 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1 F2 F1F2 2c 0 的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù) 小于 F1F2 且不等于零 的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn) 兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距 集合P M MF1 MF2 2a F1F2 2c 其中a c為 2 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 續(xù)表 a a 續(xù)表 a2 b2 線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸 它的長(zhǎng) A1A2 2a 線段B1B2叫做雙曲線的虛軸 它的長(zhǎng) B1B2 2b a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng) b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng) 3 等軸雙曲線 實(shí)軸和虛軸長(zhǎng)相等的雙曲線為等軸雙曲線 其漸近線方程 9 x2 y2 1 a 1 b2 c2 a2 1 則C的方程為x2 y2 1 考點(diǎn)1 雙曲線的定義及應(yīng)用 點(diǎn)分別為F1 F2 點(diǎn)P在雙曲線E上 且 PF1 3 則 PF2 等 于 A 11 B 9 C 5 D 3 解析 由雙曲線定義 得 PF1 PF2 2a 6 即 3 PF2 6 解得 PF2 9 故選B 答案 B 的左 右焦點(diǎn) 點(diǎn)A C 點(diǎn)M的坐標(biāo)為 2 0 AM為 F1AF2的平分線 則 AF2 AF1 2 AF2 又點(diǎn)A C 由雙曲線的第一定義 得 AF1 AF2 2 AF2 AF2 AF2 2a 6 答案 6 答案 C 考點(diǎn)2 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 答案 B 答案 D 考點(diǎn)3 雙曲線的幾何性質(zhì) 答案 D 答案 C 互動(dòng)探究 D 易錯(cuò) 易混 易漏 忽視直線與雙曲線相交的判斷致誤 l與雙曲線交于P Q兩點(diǎn) 并且A為線段PQ的中點(diǎn) 若存在 求出直線l的方程 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 再由 16 24 8 0 所以所求直線不存在 方法二 設(shè)點(diǎn)P x1 y1 Q x2 y2 在雙曲線上 且線段PQ的中點(diǎn)為 1 1 若直線l的斜率不存在 顯然不符合題意 設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l的方程為y 1 k x 1 2 k2 x2 2k 1 k x 1 k 2 2 0 2 k2 0 失誤與防范 1 本題是以雙曲線為背景 探究是否存在符合條件的直線 題目難度不大 思路也很清晰 但結(jié)論卻不一定正確 錯(cuò)誤原因是考生忽視對(duì)直線與雙曲線是否相交的判斷 從而導(dǎo)致錯(cuò)誤 因?yàn)樗蟮闹本€是基于假設(shè)存在的情況下所得的 2 思考兩個(gè)問(wèn)題 如將本題中點(diǎn)A的坐標(biāo)改為 1 2 看看結(jié)論怎樣 中點(diǎn)弦問(wèn)題的存在性 在橢圓內(nèi)中點(diǎn)弦 過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)作直線 與橢圓交于兩點(diǎn) 使這點(diǎn)為弦的中點(diǎn) 一定存在 但在雙曲線中則不能確定 這是因?yàn)檫^(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)的任一直線與橢圓肯定相交 而點(diǎn)在雙曲線內(nèi)外在中學(xué)階段很難界定 因此直線與雙曲線的位置關(guān)系必須利用根的判別式檢驗(yàn) 1 雙曲線定義的集合語(yǔ)言 P M MF1 MF2 2a 0 2a F1F2 是解決與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題的關(guān)鍵 切記對(duì)所求結(jié)果進(jìn)行必要的檢驗(yàn) 涉及雙曲線的定義時(shí) 要把握定義中的關(guān)鍵詞 絕對(duì)值保證雙曲線有兩支 當(dāng)2a2c時(shí) M的軌跡不存在 3 雙曲線中c2 a2 b2 說(shuō)明雙曲線中c最大 解決雙曲線問(wèn)題時(shí)不要忽視了這個(gè)結(jié)論 不要與橢圓中的知識(shí)相混淆 4 求雙曲線離心率及其范圍時(shí) 不要忽略了雙曲線的離心率的取值范圍是 1 這個(gè)前提條件 否則很容易產(chǎn)生增解或擴(kuò)大所求離心率的取值范圍致錯(cuò) 6 判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系利用根的判別式 同時(shí)要考慮二項(xiàng)式的系數(shù) 直線與雙曲線交于一點(diǎn)時(shí) 不一定相切 例如 當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí) 直線與雙曲線相交于一點(diǎn) 但不是相切 反之 當(dāng)直線與雙曲線相切時(shí) 直線與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)