第九章 概率與統(tǒng)計 第1講隨機事件的概率 1 隨機事件和確定事件 1 在條件S下 一定會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的必 然事件 2 在條件S下 一定不會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的 不可能事件 3 必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為確定事件 4 在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件 叫做隨機事 件 5 確定事件和隨機事件統(tǒng)稱為事件 一般用大寫字母A B C 表示 2 頻率與概率 1 在相同的條件S下重復(fù)n次試驗 觀察某一事件A是否出現(xiàn) 稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù) 稱事件A出現(xiàn)的比例fn A 為事件A出現(xiàn)的頻率 2 對于給定的隨機事件A 如果隨著試驗次數(shù)的增加 事件A發(fā)生的頻率fn A 穩(wěn)定在某個常數(shù)上 把這個常數(shù)記作P A 稱為事件A的概率 簡稱為A的概率 3 事件的關(guān)系與運算 A B 續(xù)表 4 概率的幾個基本性質(zhì) 1 0 1 P A 1 概率的取值范圍 0 P A 1 2 必然事件的概率P E 3 不可能事件的概率P F 4 互斥事件概率的加法公式 如果事件A與事件B互斥 則P A B P A P B 若事件B與事件A互為對立事件 則P A 1 P B 5 對立事件的概率 P A 1 2014年廣東 從字母a b c d e中任取兩個不同的字 母 則取到字母a的概率為 解析 方法一 從5個字母a b c d e中任取兩個不方法二 從5個字母a b c d e中任取兩個不同的字母 有 a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e 共10種 取到字母a有 a b a 410 25 c a d a e 共4種情形 所以取到字母a的概率為 25 同的字母 則取到任何字母的概率相等 均為 25 2 2012年湖北 容量為20的樣本數(shù)據(jù) 分組后的頻數(shù)如下表 則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間 10 40 的頻率為 B A 0 35 B 0 45 C 0 55 D 0 65 3 從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件 設(shè)事件A 抽到一等品 事件B 抽到二等品 事件C 抽到三等品 且已知P A 0 65 P B 0 2 P C 0 1 則事件 抽到的不是一等 品 的概率為 C A 0 7 B 0 65 C 0 35 D 0 3 4 甲 乙二人下棋 甲獲勝的概率是50 甲不輸?shù)母怕?是80 則甲 乙二人下成和棋的概率為 30 解析 甲 乙二人下成和棋的概率為80 50 30 故答案為30 考點1 事件的概念及判斷 例1 一個口袋內(nèi)裝有5個白球和3個黑球 從中任意取出1個球 1 取出的球是紅球 是什么事件 它的概率是多少 2 取出的球是黑球 是什么事件 它的概率是多少 3 取出的球是白球或是黑球 是什么事件 它的概率是多少 球 故 取出的球是黑球 是隨機事件 它的概率為 解 1 由于口袋內(nèi)只裝有黑 白兩種顏色的球 故 取出的球是紅球 不可能發(fā)生 因此 它是不可能事件 其概率為 0 2 由已知 從口袋內(nèi)取出1個球 可能是白球也可能是黑 3 由于口袋內(nèi)裝的是黑 白兩種顏色的球 故取出1個球不是黑球 就是白球 因此 取出的球是白球或是黑球 是必然事件 它的概率是1 規(guī)律方法 一定會發(fā)生的事件叫做必然事件 一定不會發(fā)生的事件叫做不可能事件 可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件 叫做隨機事件 互動探究 1 從6個男生 2個女生中任取3人 則下列事件中必然事 件是 B A 3個都是男生B 至少有1個男生C 3個都是女生D 至少有1個女生 考點2 隨機事件的頻率與概率 例2 如圖9 1 1 A地到火車站共有兩條路徑L1和L2 現(xiàn)隨機抽取100位從A地到火車站的人進行調(diào)查 調(diào)查結(jié)果如下 1 試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率 2 分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率 3 現(xiàn)甲 乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站 為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站 試通過計算說明 他們應(yīng)如何選擇各自的路徑 圖9 1 1 解 1 由已知共調(diào)查了100人 其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12 12 16 4 44 人 用頻率估計相應(yīng)的概率為 0 44 2 選擇L1的有60人 選擇L2的有40人 故由調(diào)查結(jié)果得頻率為 3 A1 A2分別表示甲選擇L1和L2時 在40分鐘內(nèi)趕到 火車站 B1 B2分別表示乙選擇L1和L2時 在50分鐘內(nèi)趕到火車 站 由 2 知 P A1 0 1 0 2 0 3 0 6 P A2 0 1 0 4 0 5 P A1 P A2 甲應(yīng)選擇L1 P B1 0 1 0 2 0 3 0 2 0 8 P B2 0 1 0 4 0 4 0 9 P B2 P B1 乙應(yīng)選擇L2 規(guī)律方法 概率是頻率的穩(wěn)定值 根據(jù)隨機事件發(fā)生的 頻率只能得到概率的估計值 互動探究 2 某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量 質(zhì)量指標越大表明質(zhì)量越好 且質(zhì)量指標值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品 現(xiàn)用兩種新配方 分別稱為A配方和B配方 做試驗 各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品 并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值 得到如下試驗結(jié)果 A配方的頻數(shù)分布表 B配方的頻數(shù)分布表 1 分別估計用A配方 B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率 2 已知用B配方生產(chǎn)的一種產(chǎn)品利潤y 單位 元 與其質(zhì)量 2 t 94 估計用B配方生產(chǎn) 指標值t的關(guān)系式為y 2 94 t 102 4 t 102 的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率 解 1 由試驗結(jié)果知 用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻 率為 22 8100 0 3 所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計 值為0 3 由試驗結(jié)果知 用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為 32 10100 0 42 所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值 為0 42 2 由條件知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0當且僅當其質(zhì)量指標值t 94 由試驗結(jié)果知 質(zhì)量指標值t 94的頻率為0 96 所以用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率估計值為0 96 考點3 互斥事件 對立事件的概率 例3 某商場有獎銷售中 購滿100元商品得1張獎券 多購多得 1000張獎券為一個開獎單位 設(shè)特等獎1個 一等獎10個 二等獎50個 設(shè)1張獎券中特等獎 一等獎 二等獎的事件分別為A B C 求 1 P A P B P C 2 1張獎券的中獎概率 3 1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率 解 1 P A 11000 P B 1011000100 P C 501100020 故事件A B C的概率分別為 111100010020 2 1張獎券中獎包含中特等獎 一等獎 二等獎 設(shè) 1張獎券中獎 這個事件為M 則M A B C A B C兩兩互斥 P M P A B C P A P B P C 1 10 501000 611000 故1張獎券的中獎概率為 611000 3 設(shè) 1張獎券不中特等獎且不中一等獎 為事件N 則事件N與 1張獎券中特等獎或中一等獎 為對立事件 P N 1 P A B 故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為 9891000 規(guī)律方法 某些問題 直接求時 我們可以轉(zhuǎn)化為互斥事件的和求解 有些問題我們可以采用間接法 如第 3 小題 我們求其對立事件的概率來推出所求事件的概率 但是在理解對立問題時經(jīng)常容易造成理解混亂 比如 至少有一人 的對立事件是 一個都沒有 至少兩人 的對立事件是 至多有一人 互動探究 3 國家射擊隊的隊員為在射擊世錦賽上取得優(yōu)異成績 正在加緊備戰(zhàn) 經(jīng)過近期訓(xùn)練 某隊員射擊一次命中7 10環(huán)的概率如下表所示 求該射擊隊員射擊一次 1 射中9環(huán)或10環(huán)的概率 2 命中不足8環(huán)的概率 易錯 易混 易漏 對互斥事件與對立事件概念的理解 例題 1 從40張撲克牌 紅桃 黑桃 方塊 梅花點數(shù)從1 10各10張 中 任取1張 判斷下列給出的每對事件 互斥事件為 對立事件為 抽出紅桃 與 抽出黑桃 抽出紅色牌 與 抽出黑色牌 抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù) 與 抽出的牌點數(shù)大于 9 正解 是互斥事件 理由是 從40張撲克牌中任意抽取1張 抽出紅桃 和 抽出黑桃 是不可能同時發(fā)生的 所以是互斥事件 是互斥事件 且是對立事件 理由是 從40張撲克牌中 任意抽取1張 抽出紅色牌 與 抽出黑色牌 兩個事件不可能同時發(fā)生 但其中必有一個發(fā)生 所以它們既是互斥事件 又是對立事件 不是互斥事件 理由是 從40張撲克牌中任意抽取1張 抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù) 與 抽出的牌點數(shù)大于9 這兩個事件可能同時發(fā)生 如抽得點數(shù)為10 因此 二者不是互斥事件 當然也不可能是對立事件 答案 2 人教版必修3P121 5 把黑 紅 白3張紙牌分給甲 乙 丙3人 每人1張 則事件 甲分得紅牌 與事件 乙分得紅 牌 是 A 對立事件C 不可能事件 B 互斥但不對立事件D 必然事件 思維點撥 明確互斥事件與對立事件的概念 互斥事件與對立事件都是兩個事件的關(guān)系 互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件 而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外 還要求二者之一必須有一個發(fā)生 正解 因為只有1張紅牌 所以 甲分得紅牌 與 乙分得紅牌 不能同時發(fā)生 所以是互斥事件 但是這兩個事件不是必有一個發(fā)生 故不是對立事件 故選B 答案 B 失誤與防范 互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件 而對立事件是不可能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生的兩個事件 對立事件與互斥事件的區(qū)別在于兩個事件中是否必有一個發(fā)生 1 互斥事件與對立事件的概念問題 對立事件一定是互斥事件 互斥事件不一定是對立事件 即對立事件是特殊的互斥事件 對含有 至多 至少 等字眼時 可考慮間接法求解 2 從集合角度理解互斥和對立事件 從集合的角度看 幾個事件彼此互斥 是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此 的交集為空集 事件A的對立事件A所含的結(jié)果組成的集合 是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集