第3講幾何概型 1 幾何概型如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度 面積或體積 成比例 則稱這樣的概率模型為幾何概率模型 簡稱 為 幾何概型 2 幾何概型中 事件A的概率計算公式 P A 構(gòu)成事件A的區(qū)域長度 面積或體積 區(qū)域的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度 面積或體積 3 要切實理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特點 1 無限性 在一次試驗中 可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個 2 等可能性 每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性 注意 幾何概型的試驗中 事件A的概率P A 只與子區(qū)域A的幾何度量 長度 面積或體積 成正比 而與A的位置和形狀無關(guān) 求試驗中幾何概型的概率 關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)域和 整個區(qū)域 的幾何度量 然后代入公式即可求解 1 如圖9 3 1 四個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤被平均分成若干個扇形 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤 轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后 有兩個轉(zhuǎn)盤的指針指向白色 C 區(qū)域的概率相同 則這兩個轉(zhuǎn)盤是 圖9 3 1 A 轉(zhuǎn)盤1和轉(zhuǎn)盤2C 轉(zhuǎn)盤2和轉(zhuǎn)盤4 B 轉(zhuǎn)盤2和轉(zhuǎn)盤3D 轉(zhuǎn)盤3和轉(zhuǎn)盤4 2 一只螞蟻在三邊邊長分別為3 4 5的三角形的邊上爬行 某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過1的概率為 D 1 3 如圖9 3 2 一只螞蟻在邊長分別為3 4 5的三角形區(qū)域內(nèi)隨機爬行 則其恰在離三個頂點距離都大于1的地方的概率 為 D 圖9 3 2 A 12 B 1 3 C 1 6 12 4 取一根長度為4m的繩子 拉直后在任意位置剪斷 那 么剪得的兩段都不少于1m的概率是 C A 14 B 13 C 12 D 23 解析 把繩子4等分 當(dāng)剪斷點位于中間兩部分時 兩段 考點1 與長度 角度 有關(guān)的幾何概型 例1 1 2013年福建 利用計算機產(chǎn)生0 1之間的均勻隨機數(shù)a 則事件 3a 1 0 發(fā)生的概率為 解析 事件 3a 1 0 發(fā)生的概率可轉(zhuǎn)化為長度之比 則 答案 23 2 2014年湖南 在區(qū)間 2 3 上隨機選取一個數(shù)x 則x 1 的概率為 A 45 B 35 C 25 D 15 解析 在區(qū)間 2 3 上符合x 1的區(qū)間為 2 1 因為區(qū)間 2 3 的長度為5 區(qū)間 2 1 的長度為3 根據(jù)幾何概型的35答案 B 概率計算公式可得p 規(guī)律方法 應(yīng)用幾何概型求概率的步驟 把每一次試驗當(dāng)作一個事件 看事件是否是等可能的且事件的個數(shù)是否是無限個 若是 則考慮用幾何概型 將試驗構(gòu)成的區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖 形 并加以度量 將幾何概型轉(zhuǎn)化為長度 面積 體積之比 應(yīng)用幾何概 型的概率公式求概率 面積不小于的概率是 互動探究 1 在面積為S的 ABC的邊AB上任取一點P 則 PBC的 A A 23 B 13 C 34 D 14 解析 如圖D53 取AB的三等分點P 如 概率為p AP2AB3 圖D53 果在線段BP上取點 PBC的面積小于 如果 在線段AP上取點 PBC的面積不小于 所以 考點2 與面積 或體積 有關(guān)的幾何概型 例2 1 如圖9 3 3 向面積為S的 ABC內(nèi)任投一點P 圖9 3 3 則 PBC的面積小于的概率為 答案 34 圖D51 2 如圖9 3 4 在長方體ABCD A1B1C1D1中 有一動點在此長方體內(nèi)隨機運動 則此動點在三棱椎A(chǔ) A1BD內(nèi)的概率為 圖9 3 4 答案 16 1 2 3 圖D52 答案 B 規(guī)律方法 如果試驗結(jié)果構(gòu)成的試驗區(qū)域的幾何測度可用面積或體積表示 那么概率的計算公式為P A 構(gòu)成事件A的區(qū)域長度 面積或體積 區(qū)域的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度 面積或體積 互動探究 2 2014年遼寧 若將一個質(zhì)點隨機投入如圖9 3 5所示的長方形ABCD中 其中AB 2 BC 1 則質(zhì)點落在以AB為直徑 的半圓內(nèi)的概率是 圖9 3 5 A 2 B 4 C 6 D 8 B 考點3 與線性規(guī)劃有關(guān)的幾何概型 例3 甲 乙兩人約定上午9時至12時在某地點見面 并約定任何一個人先到之后等另一個人不超過1小時 1小時之內(nèi)若對方不來 則離去 如果他們兩個人在9時到12時之間的任何時刻到達約定地點的概率都是相等的 求他們見到面的概率 思維點撥 1 考慮甲 乙兩人分別到達某地點的時間 我們以9時為起時 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)用x軸表示甲到達約定地點的時間 y軸表示乙到達約定地點的時間 用0時到3時表示9時至12時的時間段 則橫軸0時到3時與縱軸0時到3時的正方形中任一時的坐標(biāo) x y 就表示甲 乙兩人分別在9時至12時時間段內(nèi)到達的時間對 2 兩人能會面的時間必須滿足 x y 1 這就將問題化歸為幾何概型問題 32 2 22 32 解 設(shè)9時后過了x小時甲到達 9時后過了y小時乙到達 取點Q x y 則0 x 3 0 y 3 兩人見到面的充要條件是 x y 1 如圖9 3 6 其概率是 p 9 圖9 3 6 規(guī)律方法 將隨機事件轉(zhuǎn)化為面積之比時 要注意哪部分代表總的基本事件表示的區(qū)域 哪部分是所求事件所表示的區(qū)域 5 互動探究 3 2014年重慶 由人教版教材必修3P137 例2改編 某校早上8 00開始上課 假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7 30 7 50之間到校 且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的 則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為 用數(shù)字作答 解析 如圖D54 用x表示小張到校的時間 30 x 50 用y表示小王到校的時間 30 y 50 則所有可能的結(jié)果對應(yīng)平面直角坐標(biāo)系的正方形ABCD區(qū)域 小張比小王至少早5分鐘到校 即y x 5 所對應(yīng)的區(qū)域為 DEF 圖D54 所以P 小張比小王至少早5分鐘到校 12 15 1520 20 932 答案 932 易錯 易混 易漏 幾何概型中容易混淆幾何量的比例題 1 在Rt ABC中 A 30 過直角頂點C作射 線CM交線段AB于點M 則使 AM AC 的概率為 正解 如圖9 3 7 取AD AC A 30 此時 ACD 75 欲使 AM AC CM必須在 BCD內(nèi) 其概率為 圖9 3 7答案 B 2 在Rt ABC中 A 30 在斜邊AB上任取一點M 則使 AM AC 的概率為 A 13 B 16 C 2 2 D 34 正解 如圖9 3 8 取AD AC AM AC 欲使 AM AC 點M必須在線段BD內(nèi) 其概率為 2 2 圖9 3 8答案 C 失誤與防范 請注意兩題的區(qū)別 過直角頂點C作射線CM交線段AB于點M 在斜邊AB上任取一點M 前者CM在直角內(nèi)等可能 結(jié)果應(yīng)該為角度的比 后者M為斜邊AB上任一點 結(jié)果應(yīng)該為斜邊AB上的長度比 1 幾何概型是與古典概型最為接近的一種概率模型 二者的共同點是基本事件都是等可能的 不同點是基本事件的個數(shù)一個是無限的 一個是有限的 基本事件可抽象為點 對于幾何概型 這些點盡管是無限的 但它們與所占據(jù)的區(qū)域卻是有限的 根據(jù)等可能性 這個點落在區(qū)域的概率與該區(qū)域的度量成正比 而與該區(qū)域的位置和形狀無關(guān) 2 對一個具體問題 可以將其幾何化 如建立坐標(biāo)系將試 驗結(jié)果和點對應(yīng) 然后利用幾何概型概率公式 1 一般地 一個連續(xù)變量可建立與長度有關(guān)的幾何概型 只需把這個變量放在坐標(biāo)軸上即可 2 若一個隨機事件需要用兩個變量來描述 則可用這兩個變量的有序?qū)崝?shù)對來表示它的基本事件 然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型 3 若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變量來描述 則可用這三個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件 利用空間直角坐標(biāo)系建立與體積有關(guān)的幾何概型