第8講隨機(jī)抽樣 1 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 抽簽法 1 定義 設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體 從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本 n N 如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等 就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 2 最常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法 和隨機(jī)數(shù)法 2 系統(tǒng)抽樣的步驟假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本 1 編號(hào) 先將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào) 3 確定首個(gè)個(gè)體 在第1段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)l l k 4 獲取樣本 按照一定的規(guī)則抽取樣本 通常是將l加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)l k 再加k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào) 依次進(jìn)行下去 直到獲取整個(gè)樣本 l 2k 3 分層抽樣 1 定義 在抽樣時(shí) 將總體分成互不交叉的層 然后按照一定的比例 從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體 將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本 這種抽樣方法叫做分層抽樣 2 分層抽樣的應(yīng)用范圍 當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí) 往往選用分層抽 樣 C 1 在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中 某一個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是 A 與第幾次抽樣有關(guān) 第一次抽到的可能性最大B 與第幾次抽樣有關(guān) 第一次抽到的可能性最小C 與第幾次抽樣無關(guān) 每一次抽到的可能性相等D 與第幾次抽樣無關(guān) 與抽取幾個(gè)樣本有關(guān) 2 為了調(diào)查某產(chǎn)品的銷售情況 銷售部門從下屬的92家銷售連鎖店中抽取30家了解情況 若用系統(tǒng)抽樣法 則抽樣間隔 和隨機(jī)剔除的個(gè)體數(shù)分別為 A A 3 2 B 2 3 C 2 30 D 30 2 3 2013年廣東揭陽一模 某學(xué)校高一 高二 高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為3 3 4 現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取容量為50的樣本 則應(yīng)從高三年級(jí)抽取的 學(xué)生人數(shù)為 B A 15人 B 20人 C 25人 D 30人 4 2013年新課標(biāo) 為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況 擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查 事先已了解到該地區(qū)小學(xué) 初中 高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異 而男女生視力情況差異不大 在下面的抽樣方法中 最合 理的抽樣方法是 C A 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣C 按學(xué)段分層抽樣 B 按性別分層抽樣D 系統(tǒng)抽樣 解析 由差異明顯的幾部分構(gòu)成時(shí) 一般采用分層抽樣 顯然根據(jù)學(xué)段分層抽樣比較科學(xué) 考點(diǎn)1 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 例1 1 2014年四川 由人教版必修3P100 1改編 在 世界讀書日 前夕 為了解某地5000名居民某天的閱讀時(shí)間 從中抽取了200名居民的閱讀時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析 在這個(gè)問題中 5000名居民的閱讀時(shí)間的全體是 A 總體C 樣本的容量 B 個(gè)體D 從總體中抽取的一個(gè)樣本 解析 為了解5000名居民某天的閱讀時(shí)間 從中抽取了200名居民的閱讀時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析 樣本容量為200 每個(gè)居民的閱讀時(shí)間就是一個(gè)個(gè)體 5000名居民的閱讀時(shí)間的全體是總體 答案 A 2 2014年湖南 對(duì)一個(gè)容量為N的總體抽取容量為n的樣本 當(dāng)選取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí) 總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為p1 p2 p3 則 解析 根據(jù)隨機(jī)抽樣的原理可得簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 分層抽樣 系統(tǒng)抽樣都必須滿足每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等 即p1 p2 p3 故選D 答案 D A p1 p2 p3B p2 p3 p1C p1 p3 p2D p1 p2 p3 規(guī)律方法 抽樣方法主要有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 系統(tǒng)抽樣 分層抽樣 不論是哪種抽樣方法 在整個(gè)抽樣過程中 每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是相等的 本題考查分層抽樣 多年來 全國(guó)各地對(duì)抽樣方法的考查一直是以分層抽樣為最主要的考查對(duì)象 但是2013年江西卷考到了隨機(jī)數(shù)表 見互動(dòng)探究1 應(yīng)該引起我們的警覺 互動(dòng)探究 1 2013年江西 總體由編號(hào)為01 02 19 20的20個(gè)個(gè)體組成 利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體 選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè) 數(shù)字 則選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為 D 78163204A 08 6572080292344935B 07 631407024369820036234869C 02 9728019869387481D 01 解析 從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字開始向右讀 第一個(gè)數(shù)為65 不符合條件 第二個(gè)數(shù)為72 不符合條件 第三個(gè)數(shù)為08 符合條件 以下符合條件的依次為 02 14 07 01 故第5個(gè)數(shù)為01 考點(diǎn)2系統(tǒng)抽樣例2 1 2014年廣東 為了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況 采用系統(tǒng)抽樣的方法 從中抽取容量為40的樣本 則分段的間隔 為 A 50 B 40 C 25 D 20 解析 由題意知 分段間隔為 100040 25 故選C 答案 C 系統(tǒng)抽樣的性質(zhì)可知人數(shù)為20 4 人 2 2015年湖南 在一次馬拉松比賽中 35名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī) 單位 分鐘 的莖葉圖如圖9 8 1 若將運(yùn)動(dòng)員按成績(jī)由好到差編為1 35號(hào) 再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人 則其中成績(jī)?cè)趨^(qū)間 139 151 上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是 圖9 8 1 解析 由莖葉圖可知 在區(qū)間 139 151 的人數(shù)為20 再由 7 35 答案 4 720 480240 3 2013年陜西 某單位有840名職工 現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查 將840人按1 2 840隨機(jī)編號(hào) 則抽取的42人中 編號(hào)落入?yún)^(qū)間 481 720 的人數(shù)為 A 11 B 12 C 13 D 14 解析 由 84042 20 即每20人抽取1人 所以抽取編號(hào)落 入?yún)^(qū)間 481 720 的人數(shù)為 2020 12 人 答案 B 規(guī)律方法 當(dāng)總體元素個(gè)數(shù)很大時(shí) 可將總體分成均衡的若干部分 然后按照預(yù)先制定的規(guī)則 從每一部分抽取一個(gè)個(gè)個(gè)體得到所需要的樣本 這種抽樣方式叫做系統(tǒng)抽樣 系統(tǒng)抽樣也叫等距抽樣 互動(dòng)探究 2 從2004名學(xué)生中選取50名組成參觀團(tuán) 若采用下面的方法選取 先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從2004人中剔除4人 剩下的 2000人再按系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行 則每人入選的概率 A 不全相等 B 均不相等 C 都相等 且為 251002 D 都相等 且為 140 解析 注意隨機(jī)抽樣 每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都一樣 此題 中 每人入選的概率為 502004 251002 故選C C 考點(diǎn)3分層抽樣例3 1 2014年廣東 已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖9 8 2 1 和圖9 8 2 2 為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因 用分層抽樣的方法抽取2 的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查 則樣 2 本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為 1 圖9 8 2 A 200 20C 200 10 B 100 20D 100 10 解析 該地區(qū)中小學(xué)生總?cè)藬?shù)為3500 2000 4500 10000 則樣本容量為10000 2 200 其中抽取的高中生近視人數(shù)為2000 2 50 20 故選A 答案 A 2 2014年重慶 某中學(xué)有高中生3500人 初中生1500人 為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況 用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取 一個(gè)容量為n的樣本 已知從高中生中抽取70人 則n為 A 100C 200 B 150D 250 解析 n 3500 1500 703500 100 故選A 答案 A 規(guī)律方法 當(dāng)總體由差異明顯的幾個(gè)部分組成 按某種特征抽樣時(shí) 將總體中的各個(gè)個(gè)體分成互不交叉的層 然后按照一定的比例 從各層中獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體 將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本 這種抽樣的方法叫做分層抽樣 在三種基本抽樣中 分層抽樣在高考中考查得最多 主要考查比例的運(yùn)算 互動(dòng)探究 3 2014年上海 某校高一 高二 高三分別有學(xué)生1600名 1200名 800名 為了解該校高中學(xué)生的牙齒健康狀況 按各年級(jí)的學(xué)生人數(shù)進(jìn)行分層抽樣 若高三抽取20名學(xué)生 則高一 高二共抽取的學(xué)生人數(shù)為 70 20800 解析 設(shè)高一 高二抽取的人數(shù)分別為x y 則x y x y 70 1600 1200 難點(diǎn)突破 抽樣方式與概率的結(jié)合 例題 2015年廣東惠州三模 惠州市某縣區(qū)甲 乙 丙三所高中的高三文科學(xué)生共有800人 各學(xué)校男 女生人數(shù)如下表 已知在三所高中的所有高三文科學(xué)生中隨機(jī)抽取1人 抽 到乙高中女生的概率為0 2 1 求表中x的值 2 惠州市第三次調(diào)研考試后 該縣區(qū)決定從三所高中的所有高三文科學(xué)生中利用隨機(jī)數(shù)表法抽取100人進(jìn)行成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析 先將800人按001 002 800進(jìn)行編號(hào) 如果從第8行第7列的數(shù)開始向右讀 請(qǐng)你依次寫出最先抽取的3個(gè)人的編號(hào) 下面摘取了隨機(jī)數(shù)表中第7行至第9行 3 已知y 145 z 145 求丙高中高三文科學(xué)生中的女生 比男生人數(shù)多的概率 解 1 由 x800 0 2 得x 160 即表中x的值為160 2 依題意 最先檢測(cè)的3個(gè)人的編號(hào)依次為165 538 629 3 設(shè) 丙高中高三文科學(xué)生中的女生比男生人數(shù)多 的事件為A 其中女生 男生數(shù)記為 y z 由 1 知 x 160 則y z 300 且y 145 z 145 y z N 滿足條件的 y z 有 145 155 146 154 147 153 148 152 149 151 150 150 151 149 152 148 153 147 154 146 155 145 共11組 且每組出現(xiàn)的可能性相同 其中事件A包含的基本事件 y z 即滿足y z的有 151 149 152 148 153 147 154 146 155 145 共 5組 丙高中高三文科學(xué)生中的女生比男生人數(shù)多的概率P A 5 11 1 根據(jù)總體的情況采取適當(dāng)?shù)某闃臃绞?無論采用哪種抽樣方式 必須保證在整個(gè)過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等 其中簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是最基本的抽樣方法 是其他兩種方法的基礎(chǔ) 系統(tǒng)抽樣和分層抽樣在高考中考的是比較多的 2 應(yīng)用分層抽樣應(yīng)遵循下列三點(diǎn) 1 分層 將相似的個(gè)體歸為一類 即為一層 分層要求每 層的各個(gè)個(gè)體互不交叉 即不重不漏 2 分層保證每個(gè)個(gè)體等可能被抽取 需遵循在各層中進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 每層樣本數(shù)量與每層個(gè)體數(shù)量的比與這層個(gè)體數(shù)量與總體容量的比相等 3 若各層應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù)不都是整數(shù) 則應(yīng)當(dāng)調(diào)整樣本容 量 先剔除 多余 的個(gè)體