第14講導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用 1 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)y f x 在 a b 內(nèi)可導(dǎo) 則 1 若f x 0 則f x 在 a b 內(nèi)單調(diào)遞增 2 若f x 0 則f x 在 a b 內(nèi) 單調(diào)遞減 2 函數(shù)的極值 1 判斷f x0 是極值的方法 一般地 當(dāng)函數(shù)f x 在點x0處連續(xù)時 如果在x0附近的左側(cè)f x 0 右側(cè)f x 0 那么f x0 是極大值 如果在x0附近的左側(cè) 右側(cè) 那 么f x0 是極小值 f x 0 f x 0 2 求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟 求f x 求方程f x 0的根 檢查f x 在方程f x 0的根的左 右值的符號 如果左正右負 那么f x 在這個根處取得極大值 如果左負右正 那么f x 在這個根處取得 如果左右兩側(cè)符號一樣 那么這個根不是極值點 極小值 3 函數(shù)的最值 1 函數(shù)f x 在 a b 上有最值的條件 如果在區(qū)間 a b 上 函數(shù)y f x 的圖象是一條連續(xù)不斷 的曲線 那么它必有最大值和最小值 2 若函數(shù)f x 在 a b 上單調(diào)遞增 則f a 為函數(shù)的最小 值 f b 為函數(shù)的最大值 若函數(shù)f x 在 a b 上單調(diào)遞減 則f a 為函數(shù)的最大值 f b 為函數(shù)的最小值 3 求y f x 在 a b 上的最大 小 值的步驟 求函數(shù)y f x 在 a b 內(nèi)的極值 將函數(shù)y f x 的各 與端點值比較 其中最大的 一個是最大值 最小的一個是最小值 極值 1 已知函數(shù)f x x3 12x 8在區(qū)間 3 3 上的最大值與 最小值分別為M m 則M m 32 解析 由題意 得f x 3x2 12 令f x 0 得x 2 又f 3 17 f 2 24 f 2 8 f 3 1 所以M 24 m 8 M m 32 2 2013年廣東廣州二模 已知e為自然對數(shù)的底數(shù) 函數(shù) y xex的單調(diào)遞增區(qū)間是 A 1 C 1 B 1 D 1 A D 4 2014年新課標 函數(shù)f x 在x x0處導(dǎo)數(shù)存在 若p f x0 0 q x x0是f x 的極值點 則 C A p是q的充分必要條件B p是q的充分條件 但不是q的必要條件C p是q的必要條件 但不是q的充分條件D p既不是q的充分條件 也不是q的必要條件解析 若x x0是f x 的極值點 則f x0 0 若f x0 0 而x x0不一定是f x 的極值點 如f x x3 當(dāng)x 0時 f 0 0 但x 0不是極值點 故p是q的必要條件 但不是q的充分條件 故選C 考點1 函數(shù)的單調(diào)性 例1 2014年大綱 函數(shù)f x ax3 3x2 3x a 0 1 討論函數(shù)f x 的單調(diào)性 2 若函數(shù)f x 在區(qū)間 1 2 是增函數(shù) 求a的取值范圍 解 1 f x 3ax2 6x 3 f x 3ax2 6x 3 0的判別式 36 1 a 當(dāng)a 1時 則f x 0 且f x 0當(dāng)且僅當(dāng)a 1 x 1 故此時f x 在R上是增函數(shù) 當(dāng)0 a 1時 則當(dāng)x x2 或x x1 時 f x 0 故f x 在 x2 x1 上是增函數(shù) 當(dāng)x x2 x1 時 f x 0 故f x 在 x2 x1 上是減函數(shù) 當(dāng)a 0時 則當(dāng)x x1 或x x2 時 f x 0 故f x 在 x1 x2 上是減函數(shù) 當(dāng)x x1 x2 時 f x 0 故f x 在 x1 x2 上是增函數(shù) 2 當(dāng)a 0 x 0時 f x 0 所以當(dāng)a 0時 f x 在區(qū)間 1 2 是增函數(shù) 當(dāng)a 0時 f x 在區(qū)間 1 2 是增函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f 1 0 綜上所述 a的取值范圍是 0 規(guī)律方法 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的極值時要養(yǎng)成列表的習(xí)慣 可使問題直觀且有條理 減少失分的可能 如果一個函數(shù)在給定的定義域上單調(diào)區(qū)間不止一個 這些區(qū)間之間一般不能用并集符號 連接 只能用 或 和 字隔開 且f 2 0 解得 a 0 互動探究 A 1 函數(shù)f x x2 2lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是 A 0 1 B 1 C 1 D 1 1 時f x 0 f x 為減函數(shù) 當(dāng)x 1 時 f x 0 f x 為增函數(shù) 故f x 的單調(diào)遞減區(qū)間為 0 1 考點2 函數(shù)的最值 例2 2013年新課標 已知函數(shù)f x ex ax b x2 4x 曲線y f x 在點 0 f 0 處的切線方程為y 4x 4 1 求a b的值 2 討論f x 的單調(diào)性 并求f x 的極大值 解 1 f x ex ax a b 2x 4 由已知 得f 0 4 f 0 4 故b 4 a b 8 從而a 4 b 4 規(guī)律方法 1 求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法 確定函數(shù)f x 的定義域 求f x 令f x 0 求出它在定義域內(nèi)的一切實根 把函數(shù)f x 的間斷點 即f x 的無定義點 的橫坐標和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來 然后用這些點把函數(shù)f x 的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間 確定f x 在各個開區(qū)間內(nèi)的符號 根據(jù)f x 的符號判 定函數(shù)f x 在每個相應(yīng)小開區(qū)間內(nèi)的增減性 2 可導(dǎo)函數(shù)極值存在的條件 可導(dǎo)函數(shù)的極值點x0一定滿足f x0 0 但當(dāng)f x1 0時 x1不一定是極值點 如f x x3 f 0 0 但x 0不是極值點 可導(dǎo)函數(shù)y f x 在點x0處取得極值的充要條件是f x0 0 且在x0左側(cè)與右側(cè)f x 的符號不同 互動探究 2 函數(shù)f x x3 ax2 bx a2在x 1處有極值10 則點 a b 為 B A 3 3 C 3 3 或 4 11 B 4 11 D 不存在 考點3 函數(shù)的最值 例3 2014年江西 已知函數(shù)f x 4x2 4ax a2 其中a 0 1 當(dāng)a 4時 求f x 的單調(diào)遞增區(qū)間 2 若f x 在區(qū)間 1 4 上的最小值為8 求a的值 解 1 定義域 0 綜上所述 a 10 規(guī)律方法 1 求解函數(shù)的最值時 要先求函數(shù)y f x 在 a b 內(nèi)所有使f x 0的點 再計算函數(shù)y f x 在區(qū)間內(nèi)所有使f x 0的點和區(qū)間端點處的函數(shù)值 最后比較即得 2 已知函數(shù)的最值求參數(shù) 一般先用參數(shù)表示出最值 再列方程求解參數(shù) 互動探究 3 函數(shù)f x x3 3x 1 若對于區(qū)間 3 2 上的任意x1 x2 都有 f x1 f x2 t 則實數(shù)t的最小值是 A A 20 B 18 C 3 D 0 解析 因為f x 3x2 3 3 x 1 x 1 令f x 0 得x 1 可知 1 1為函數(shù)的極值點 又f 3 19 f 1 1 f 1 3 f 2 1 所以在區(qū)間 3 2 上f x max 1 f x min 19 由題設(shè)知在區(qū)間 3 2 上f x max f x min t 從而t 20 所以t的最小值是20 思想與方法 運用分類討論思想討論函數(shù)的單調(diào)性 例題 2013年廣東東莞一模 已知函數(shù)f x x2 ax blnx x 0 實數(shù)a b為常數(shù) 1 若a 1 b 1 求函數(shù)f x 的極值 2 若a b 2 討論函數(shù)f x 的單調(diào)性 綜上所述 當(dāng)b 0時 函數(shù)f x 的單調(diào)遞減區(qū)間為 0 1 單調(diào)遞增區(qū)間為 1 當(dāng)b 2時 函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 0 1 注意定義域優(yōu)先的原則 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點必 須在函數(shù)的定義域內(nèi)進行 2 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 極值 最值可列表觀察函 數(shù)的變化情況 直觀而且條理 減少失分 3 求極值 最值時 要求步驟規(guī)范 表格齊全 含參數(shù)時 要討論參數(shù)的大小 4 求函數(shù)最值時 不可想當(dāng)然地認為極值點就是最值點 要通過認真比較才能下結(jié)論 一個函數(shù)在其定義域內(nèi)最值是唯一的 可以在區(qū)間的端點取得 5 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的極值時要養(yǎng)成列表的習(xí)慣 可使問題直觀且有條理 減少失分的可能 如果一個函數(shù)在給定的定義域上單調(diào)區(qū)間不止一個 這些區(qū)間之間一般不能用并集符號 連接 只能用 或 和 字隔開 6 f x 0 或f x 0 是 函數(shù)f x 在某區(qū)間上為增函數(shù) 或減函數(shù) 的充分不必要條件 f x0 0 是 函數(shù)f x 在x x0處取得極值 的必要不充分條件