第5講指數(shù)式與指數(shù)函數(shù) 1 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 ar s arbr 2 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) y 1 y ax a 1 0 1 減函數(shù) 0 y 1 1 下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化中 正確的是 2 已知函數(shù)f x 4 ax 1 a 0 且a 1 的圖象恒過(guò)定點(diǎn) P 則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 A A 1 5 B 1 4 C 0 4 D 4 0 C 3 2015年廣東深圳一模 若函數(shù)y ax b的部分圖象如圖 2 5 1 則 A 圖2 5 1A 0 a 1 1 b 0B 0 a 1 0 b 1C a 1 1 b 0D a 1 0 b 1 4 2013年上海 方程 解析 由 93x 1 1 3x的實(shí)數(shù)解為 93x 1 1 3x 得9 3x 1 3x 2 3x 3x 2 2 3x 8 0 3x 4 3x 2 0 得3x 4 x log34 x log34 考點(diǎn)1 指數(shù)冪運(yùn)算 例1 計(jì)算 思維點(diǎn)撥 根式的形式通常寫(xiě)成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再進(jìn)行運(yùn)算 規(guī)律方法 由于冪的運(yùn)算性質(zhì)都是以指數(shù)式的形式給出的 所以對(duì)既有根式又有指數(shù)式的代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí) 要先將含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 根式化成指數(shù)式的形式 依據(jù)為 注意結(jié)果不要同時(shí) 互動(dòng)探究 23 考點(diǎn)2 指數(shù)函數(shù)的圖象 例2 已知實(shí)數(shù)a b滿足等式 下列五個(gè)關(guān)系式 0 b a a b 0 0 a b b a 0 a b 其中不可能 成立的關(guān)系式有 A 1個(gè) B 2個(gè) C 3個(gè) D 4個(gè) 解析 在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y y 的圖象 如圖D2 圖D2 答案 B 0 a 1 的圖象的大致形狀是 互動(dòng)探究 2 函數(shù)f x xax x D A B C D 3 已知實(shí)數(shù)a b滿足等式2015a 2016b 下列五個(gè)關(guān)系式 0 b a a b 0 0 a b b a 0 a b 其中不可能成立的關(guān)系式有 B A 1個(gè) B 2個(gè) C 3個(gè) D 4個(gè) 解析 設(shè)2015a 2016b t 如圖D3 由函數(shù)圖象 可得 若t 1 則有a b 0 若t 1 則有a b 0 若0 t 1 則有a b 0 故 可能成立 而 不 可能成立 圖D3 考點(diǎn)3 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 答案 C 規(guī)律方法 本題以分段函數(shù)為切入點(diǎn) 深入考查了同學(xué)們對(duì)函數(shù)概念的理解與掌握 同時(shí)也考查了同學(xué)們對(duì)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的理解與運(yùn)用 滲透著對(duì)不等式的考查 是一個(gè)多知識(shí)點(diǎn)的綜合題 互動(dòng)探究 4 若函數(shù)f x ax a 0 a 1 在 1 2 上的最大值為4 則其在 1 2 上的最小值為 思想與方法 分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用例題 1 函數(shù)f x ax a 0 且a 1 在 1 2 上的最大值比 2 若關(guān)于x的方程 ax 1 2a a 0 且a 1 有兩個(gè)不相等 的實(shí)根 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A 0 1 1 B 0 1 C 1 D 與y ax 1 的圖象有兩個(gè)交點(diǎn) 應(yīng)有2a 1 0 a 解析 當(dāng)a 1時(shí) 如圖2 5 2 1 為y ax 1 的圖象 與y 2a顯然無(wú)兩個(gè)交點(diǎn) 當(dāng)0 a 1時(shí) 如圖2 5 2 2 要使y 2a 圖2 5 2答案 D 再利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象 通過(guò)平移 對(duì)稱變換得 規(guī)律方法 1 在指數(shù)函數(shù)解析式中 必須時(shí)刻注意底數(shù)a 0且a 1 對(duì)于指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a 在不清楚其取值范圍時(shí) 應(yīng)運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想 分a 1和0 a 1兩種情況進(jìn)行討論 以便確定其性質(zhì) 2 一些指數(shù)方程 不等式問(wèn)題的求解 往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想求解 畫(huà)指數(shù)函數(shù)y ax a 0 且a 1 的圖象 應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) 1 a 0 1 到其他圖象 1 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義揭示了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的關(guān)系 因此根式的運(yùn)算可以先轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式再運(yùn)算 依據(jù)為 要注意運(yùn)算的順序 2 判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問(wèn)題 可以先通過(guò)令 x 1得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較 3 比較兩個(gè)指數(shù)冪大小時(shí) 盡量化同底或同指 當(dāng)?shù)讛?shù)相同 指數(shù)不同時(shí) 構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù) 然后比較大小 當(dāng)指數(shù)相同 底數(shù)不同時(shí) 構(gòu)造兩個(gè)指數(shù)函數(shù) 利用圖象比較大小 4 指數(shù)函數(shù)y ax a 0 且a 1 的單調(diào)性和底數(shù)a有關(guān) 當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論 5 與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 要弄清復(fù)合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成 而與其有關(guān)的最值問(wèn)題 往往轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題