第3講等比數(shù)列 1 等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起 每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù) 不為零 那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列 這個(gè)常數(shù)叫 做等比數(shù)列的 通常用字母q表示 公比 2 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列 an 的首項(xiàng)為a1 公比為q 則它的通項(xiàng)an a1 qn 1 3 等比中項(xiàng)若G2 a b ab 0 那么G叫做a與b的等比中項(xiàng) 4 等比數(shù)列的常用性質(zhì) 1 通項(xiàng)公式的推廣 an am qn m n m N 2 若 an 為等比數(shù)列 且k l m n k l m n N 則ak al am an 遞減 4 已知等比數(shù)列 an 若首項(xiàng)a1 0 公比q 1或首項(xiàng)a10 公比01 則數(shù)列 an 單調(diào) 若公比q 1 則數(shù)列 an 為常數(shù)列 若公比q 0 則數(shù)列 an 為擺動(dòng)數(shù)列 na1 C C 1 在等比數(shù)列 an 中 a4 4 則a2 a6 A 4 B 8 C 16 D 32 3 首項(xiàng)為1 公比為2的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和S4 4 2015年廣東 若三個(gè)正數(shù)a b c成等比數(shù)列 其中a 1 15 考點(diǎn)1等比數(shù)列的基本運(yùn)算例1 1 2013年新課標(biāo) 等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 已知S3 a2 10a1 a5 9 則a1 答案 C 2 2015年新課標(biāo) 數(shù)列 an 中a1 2 an 1 2an Sn為 an 的前n項(xiàng)和 若Sn 126 則n 答案 6 答案 C 4 2014年江蘇 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中 若a2 1 a8 a6 2a4 則a6 解析 由a8 a6 2a4 得a1q7 a1q5 2a1q3 即q4 q2 2 0 q2 2或q2 1 舍去 a6 a2q4 1 22 4 答案 4 規(guī)律方法 在解決等比數(shù)列問(wèn)題時(shí) 已知a1 an q n Sn中任意三個(gè) 可求其余兩個(gè) 稱為 知三求二 而求得a1和q是解決等比數(shù)列 an 所有運(yùn)算的基本思想和方法 考點(diǎn)2 等比數(shù)列的基本性質(zhì)及應(yīng)用 例2 1 2014年廣東 若等比數(shù)列 an 的各項(xiàng)均為正數(shù) 且a10a11 a9a12 2e5 則lna1 lna2 lna20 解析 因?yàn)閍10a11 a9a12 2a10a11 2e5 所以a10a11 e5 所以lna1 lna2 lna20 ln a1a2 a20 ln a1a20 a2a19 a10a11 ln a10a11 10 10ln a10a11 10lne5 50lne 50 答案 50 2 2014年大綱 設(shè)等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 若S2 3 S4 15 則S6 A 31 B 32 C 63 D 64 答案 C 規(guī)律方法 1 解決給項(xiàng)求項(xiàng)問(wèn)題 先考慮利用等比數(shù)列的性質(zhì) 若m n p q m n p q N 則am an ap aq 再考慮基本量法 2 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 若公比不為 1的等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 則Sn S2n Sn S3n S2n仍是等比數(shù)列 互動(dòng)探究 2n 1 1 2015年安徽 已知數(shù)列 an 是遞增的等比數(shù)列 a1 a4 9 a2a3 8 則數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和等于 考點(diǎn)3 等差與等比數(shù)列的混合運(yùn)算 例3 1 2014年大綱 等比數(shù)列 an 中 a4 2 a5 5 則 數(shù)列 lgan 的前8項(xiàng)和等于 A 6 B 5 C 4 D 3 答案 C 2 2014年新課標(biāo) 等差數(shù)列 an 的公差為2 若a2 a4 a8成等比數(shù)列 則 an 的前n項(xiàng)和Sn 答案 A 互動(dòng)探究 2 2015年北京 已知等差數(shù)列 an 滿足a1 a2 10 a4 a3 2 1 求 an 的通項(xiàng)公式 2 設(shè)等比數(shù)列 bn 滿足b2 a3 b3 a7 求b6與數(shù)列 an 的第幾項(xiàng)相等 解 1 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 因?yàn)閍4 a3 2 所以d 2 又因?yàn)閍1 a2 10 所以2a1 d 10 故a1 4 所以an 4 2 n 1 2n 2 n 1 2 2 設(shè)等比數(shù)列 bn 的公比為q 因?yàn)閎2 a3 8 b3 a7 16 所以q 2 b1 4 所以b6 4 26 1 128 由128 2n 2 得n 63 所以b6與數(shù)列 an 的第63項(xiàng)相等 思想與方法 分類討論思想在數(shù)列中的應(yīng)用例題 2015年福建 若a b是函數(shù)f x x2 px q p 0 q 0 的兩個(gè)不同的零點(diǎn) 且a b 2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列 也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列 則p q的值等于 A 6 B 7 C 8 D 9 答案 D 1 等比數(shù)列的判定方法 2 方程思想 準(zhǔn)確分析a1 q an Sn n之間的關(guān)系 通過(guò)列方程 組 可做到 知三求二 3 整體思想 在應(yīng)用等比數(shù)列 an 的性質(zhì) 若m n p 4 類比思想 等差數(shù)列中的 和 倍數(shù) 可以與等比數(shù)列中的 積 冪 相類比 關(guān)注它們之間的異同有助于類比思想的推廣 更有利于我們從整體上把握 使我們的學(xué)習(xí)達(dá)到事半功倍的效果 3 求和時(shí)應(yīng)特別注意q 1時(shí) Sn na1這一特殊情況 4 在等比數(shù)列中 Sn S2n Sn S3n S2n未必成等比數(shù)列 例如 當(dāng)公比q 1且n為偶數(shù)時(shí) Sn S2n Sn S3n S2n不成等比數(shù)列 當(dāng)q 1或q 1且n為奇數(shù)時(shí) Sn S2n Sn S3n S2n成等比數(shù)列 但等式 S2n Sn 2 Sn S3n S2n 總成立