第6講直接證明與間接證明 1 直接證明 1 綜合法 定義 利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義 公理 定理等 經(jīng)過(guò)一系列的推理論證 最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立 這種證明方法叫做綜合法 中P表示已知條件 已有的定義 公理 定理等 Q表示要證明的結(jié)論 2 分析法 定義 從要證明的結(jié)論出發(fā) 逐步尋求使它成立的充分條件 直至最后 把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件 已知條件 定義 定理 公理等 為止 這種證明方法叫做分析法 2 間接證明 反證法 假設(shè)原命題不成立 經(jīng)過(guò)正確的推理 最后得出矛盾 因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤 從而證明了原命題成立 這樣的證明方法叫做反證法 最合理的是 A 反證法B 分析法C 綜合法 D 前面三種方法都不合適 B 2 用反證法證明命題 三角形三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)不 大于60 時(shí) 應(yīng)假設(shè) B A 三個(gè)內(nèi)角都不大于60 B 三個(gè)內(nèi)角都大于60 C 三個(gè)內(nèi)角中至多有一個(gè)大于60 D 三個(gè)內(nèi)角中至多有兩個(gè)大于60 A 分析法 B 綜合法 C 反證法 D 分析法與綜合法并用 B 3 若a b c是不全相等的實(shí)數(shù) 求證 a2 b2 c2 ab bc ac 其證明過(guò)程如下 a b c R a2 b2 2ab b2 c2 2bc a2 c2 2Ac 又a b c不全相等 2 a2 b2 c2 2 ab bc ac a2 b2 c2 ab bc ac 此證法是 A 分析法 B 綜合法 A C 間接證法 D 分析法與綜合法并用 考點(diǎn)1綜合法例1 已知a b c為正實(shí)數(shù) a b c 1 求證 互動(dòng)探究 考點(diǎn)2分析法 2 已知a b 0 求證 2a3 b3 2ab2 a2b 證明 要證2a3 b3 2ab2 a2b成立 只需證2a3 b3 2ab2 a2b 0 即2a a2 b2 b a2 b2 0 即 a b a b 2a b 0 a b 0 a b 0 a b 0 2a b 0 從而 a b a b 2a b 0成立 2a3 b3 2ab2 a2b 互動(dòng)探究 考點(diǎn)3反證法 例3 2014年廣東廣州一模 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 若p q r是三個(gè)互不相等的正整數(shù) 且p q r成等差數(shù)列 試判斷ap 1 aq 1 ar 1是否成等比數(shù)列 并說(shuō)明理由 解 1 a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 當(dāng)n 1時(shí) 有a1 1 1 S1 2 解得a1 2 由a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n 得a1 2a2 3a3 nan n 1 an 1 nSn 1 2 n 1 兩式相減 得 n 1 an 1 nSn 1 n 1 Sn 2 以下提供兩種方法 方法一 由 式 得 n 1 Sn 1 Sn nSn 1 n 1 Sn 2 即Sn 1 2Sn 2 Sn 1 2 2 Sn 2 S1 2 a1 2 4 0 數(shù)列 Sn 2 是以4為首項(xiàng) 2為公比的等比數(shù)列 Sn 2 4 2n 1 即Sn 4 2n 1 2 2n 1 2 當(dāng)n 2時(shí) an Sn Sn 1 2n 1 2 2n 2 2n 又a1 2也滿足上式 an 2n 方法二 由 式 得 n 1 an 1 nSn 1 n 1 Sn 2 n Sn 1 Sn Sn 2 得an 1 Sn 2 當(dāng)n 2時(shí) an Sn 1 2 得an 1 2an 由a1 2a2 S2 4 得a2 4 a2 2a1 an 1 2an n N 數(shù)列 an 是以a1 2為首項(xiàng) 2為公比的等比數(shù)列 an 2n 2 ap 1 aq 1 ar 1不成等比數(shù)列 理由如下 p q r成等差數(shù)列 p r 2q 規(guī)律方法 反證法主要適用于以下兩種情形 要證的條件和結(jié)論之間的聯(lián)系不明顯 直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰 如果從正面出發(fā) 需要分成多種情形進(jìn)行分類討論 而從反面證明 只要研究一種或很少幾種情形 互動(dòng)探究 3 設(shè) an 是公比為q的等比數(shù)列 Sn是它的前n項(xiàng)和 1 求證 數(shù)列 Sn 不是等比數(shù)列 2 數(shù)列 Sn 是等差數(shù)列嗎 并說(shuō)明理由 2 解 當(dāng)q 1時(shí) Sn 顯然是等差數(shù)列 當(dāng)q 1時(shí) Sn 不是等差數(shù)列 假設(shè)當(dāng)q 1時(shí) S1 S2 S3成等差數(shù)列 則2S2 S1 S3 即2a1 1 q a1 a1 1 q q2 a1 0 2 1 q 2 q q2 即q q2 q 1 q 0 這與q 0相矛盾 綜上所述 當(dāng)q 1時(shí) Sn 是等差數(shù)列 當(dāng)q 1時(shí) Sn 不是等差數(shù)列 1 綜合法的特點(diǎn)是 以 已知 看 可知 逐步推向 未知 其逐步推理 實(shí)際上是尋找它的必要條件 分析法的特點(diǎn)是 從 未知 看 需知 逐步靠攏 已知 逐步尋找結(jié)論成立的充分條件 2 分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn) 分析法思考起來(lái)比較自然 容易尋找到解題的思路和方法 缺點(diǎn)是思路逆行 敘述較繁 綜合法從條件推出結(jié)論 較簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題 但不便于思考 實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用 先用分析法探索證明途徑 然后再用綜合法敘述出來(lái) 3 利用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí) 要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤 并用假設(shè)的命題進(jìn)行推理 沒(méi)有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果 其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的 在使用反證法證明數(shù)學(xué)命題時(shí) 反設(shè)必須恰當(dāng) 如 都是 的否定是 不都是 至少一個(gè) 的否定是 不存在 等