第2講一元二次不等式及其解法 一元二次不等式 a 0 與相應的二次函數(shù) a 0 及一元二次 方程的關(guān)系 續(xù)表 C A x 2 x 1 B x 1 x 0 C x 0 x 1 D x x 1 解析 由x x 2 0得x 0或x 2 由 x 1得 1 x 1 所以不等式組的解集為 x 0 x 1 故選C D 2 2013年大綱 不等式 x2 2 2的解集是 A 1 1 B 2 2 C 1 0 0 1 D 2 0 0 2 解析 由 x2 2 2 得 2 x2 2 2 即0 x2 4 所以 2 x 0或0 x 2 故解集為 2 0 0 2 3 2012年新課標 已知集合A x x2 x 2 0 B x 1 x 1 則 B D A A B B B A C A B D A B 解析 A 1 2 故B A 故選B 4 2014年四川 已知集合A x x 1 x 2 0 集合B 為整數(shù)集 則A B A 1 0 C 2 1 0 1 B 0 1 D 1 0 1 2 解析 A x 1 x 2 集合B為整數(shù)集 則A B 1 0 1 2 故選D 考點1解一元二次 分式不等式 例1 1 2015年廣東 不等式 x2 3x 4 0的解集為 用區(qū)間表示 解析 由 x2 3x 4 0得 4 x 1 所以不等式 x2 3x 4 0的解集為 4 1 所以填 4 1 答案 4 1 答案 B 規(guī)律方法 解一元二次不等式的一般步驟是 化為標準形式 即不等式的右邊為零 左邊的二次項系數(shù)為正 確定判別式 的符號 若 0 則求出該不等式對應的二次方程的根 若 0 則對應的二次方程無根 結(jié)合二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集 特別地 若一元二次不等式的左邊的二次三項式能分解因式 則可立即寫出不等式的解集 互動探究 B 1 2014年廣東廣州水平測試 關(guān)于x的不等式2x2 ax a2 0的解集中的一個元素為1 則實數(shù)a的取值范圍是 解析 不等式2x2 ax a2 0的解集中的一個元素為1 則有2 a a2 0 即a2 a 2 0 解得 1 a 2 故選B 考點2含參數(shù)不等式的解法例2 解關(guān)于x的不等式kx2 2x k 0 k R 解 當k 0時 不等式的解為x 0 當k 0時 若 4 4k2 0 即0 k 1時 若 0 即k 1時 不等式無解 當k 0時 若 4 4k2 0 若 0 即k 1時 不等式的解集為R 若 0 即k 1時 不等式的解為x 1 綜上所述 k 1時 不等式的解集為 0 k 1時 不等式的解集為 k 0時 不等式的解集為 x x 0 當 1 k 0時 不等式的解集為 k 1時 不等式的解集為 x x 1 k 1時 不等式的解集為R 規(guī)律方法 解含參數(shù)的有理不等式時分以下幾種情況討論 根據(jù)二次項系數(shù)討論 大于0 小于0 等于0 根據(jù)根的判別式討論 0 0 x2 x1 x2 x1 x2 互動探究 2 已知不等式ax2 3x 6 4的解集為 x xb 1 求a b的值 2 解不等式ax2 ac b x bc 0 解 1 不等式ax2 3x 6 4的解集為 x xb x1 1與x2 b是方程ax2 3x 2 0的兩個實數(shù)根 b 1 且a 0 由根與系數(shù)的關(guān)系 2 不等式ax2 ac b x bc2時 不等式 x 2 x c 2時 不等式ax2 ac b x bc 0的解集為 x 2 x c 當c 2時 不等式ax2 ac b x bc 0的解集為 x c x 2 當c 2時 不等式ax2 ac b x bc 0的解集為 考點3一元二次不等式的應用例3 設(shè)函數(shù)f x mx2 mx 1 1 若對于一切實數(shù)x f x 0恒成立 求m的取值范圍 2 若對于x 1 3 f x m 5恒成立 求m的取值范圍 解 1 要使mx2 mx 1 0恒成立 若m 0 顯然 1 0成立 所以 4 m 0 f x m 5 即m x2 x 1 6 0 規(guī)律方法 含參數(shù)問題的分類討論 其主要形式最終都轉(zhuǎn)化成二次問題的分類討論 分類討論的一般情形為 討論二次項系數(shù)的正負 a 0 a 0 a0 0 x2 x1 x2 x1 x2 討論兩根是否在定義域內(nèi) 互動探究 5 0 3 2013年江蘇 已知f x 是定義在R上的奇函數(shù) 當x 0時 f x x2 4x 則不等式f x x的解集用區(qū)間表示為 當x 0時 f x x2 4x x 得x5 當x 0時 f x 0 0 不成立 當xx x2 5x 0 5 x 0 綜上所述 x 5 0 5 5 思想與方法 利用轉(zhuǎn)化與化歸思想求參數(shù)的范圍例題 1 若不等式x2 2x 5 a2 3a對任意實數(shù)x恒成立 則實數(shù)a的取值范圍為 A 1 4 B 2 5 C 1 4 D 2 5 答案 A 解析 x2 2x 5 x 1 2 4的最小值為4 所以x2 2x 5 a2 3a對任意實數(shù)x恒成立 只需a2 3a 4 解得 1 a 4 2 已知a 1 1 時不等式x2 a 4 x 4 2a 0恒成立 則x的取值范圍為 A 2 3 C 1 3 B 1 2 D 1 3 答案 C 解析 把不等式的左端看成關(guān)于a的一次函數(shù) 記f a x 2 a x2 4x 4 則由f a 0對于任意的a 1 1 恒成立 易知只需f 1 x2 5x 6 0 且f 1 x2 3x 2 0即可 聯(lián)立方程解得x3 規(guī)律方法 在含有多個變量的數(shù)學問題中 選準 主元 往往是解題的關(guān)鍵 即需要確定合適的變量或參數(shù) 能使函數(shù)關(guān)系更加清晰明朗 一般地 已知存在范圍的量為變量 而待求范圍的量為參數(shù) 如第 1 小問中x為變量 關(guān)于x的二次函數(shù) a為參數(shù) 第 2 小問中a為變量 關(guān)于a的一次函數(shù) x為參數(shù) 解決一元二次不等式有關(guān)問題的常見數(shù)學思想方法 1 數(shù)形結(jié)合思想 三個二次 的完美結(jié)合是數(shù)形結(jié)合思 想的具體體現(xiàn) 2 分類討論思想 當二次項系數(shù)含參數(shù)a時 要對二次項系數(shù)分a 0 a 0和a 0三種情況討論 對方程根的情況進行分類討論 0 0 0 如果根里含有參數(shù) 要注意對兩個根的大小進行討論 3 轉(zhuǎn)化與化歸思想 解分式 指數(shù) 對數(shù) 絕對值等類型的不等式時 一般要把它們轉(zhuǎn)化成一元二次 一次 不等式 組 的形式進行解決 轉(zhuǎn)化的方法通常是代數(shù)化 有理化 整式化 低次化