第4講坐標系與參數(shù)方程 1 極坐標和直角坐標的互化公式若點M的極坐標為 直角坐標為 x y 則 將直角坐標化為極坐標利用公式 將極坐標化為直角坐標利用公式 2 參數(shù)方程 1 圓 x a 2 y b 2 r2的參數(shù)方程為 參數(shù) 的幾何意義是圓上的點 繞圓心旋轉(zhuǎn)的角度 x a rcos y b rsin 為參數(shù) 為參數(shù) 1 2 2015年廣東 在平面直角坐標系xOy中 以原點O為極點 x軸的正半軸為極軸建立極坐標系 曲線C1的極坐標方程為 cos sin 2 曲線C2的參數(shù)方程為 x t2 y t為參 數(shù) 則C1與C2交點的直角坐標為 2 4 解析 曲線C1的直角坐標方程為x y 2 曲線C2的普 通方程為 y2 8x 由 x y 2 y2 8x 得 x 2 y 4 所以C1與C2 交點的直角坐標為 2 4 sin 3cos 0 曲線C的參數(shù)方程為 3 2015年湖北 在直角坐標系xOy中 以O(shè)為極點 x軸的正半軸為極軸建立極坐標系 已知直線l的極坐標方程為 t為參 數(shù) l與C相交于A B兩點 則 AB 4 2015年重慶 已知直線l的參數(shù)方程為 x 1 t y 1 t t 為參數(shù) 以坐標原點為極點 x軸的正半軸為極軸建立極坐標 系 曲線C的極坐標方程為 直線l與曲線C的交點的極坐標為 2 解析 直線l的普通方程為y x 2 由 2cos2 4 得 2 cos2 sin2 4 直角坐標方程為x2 y2 4 把y x 2代入雙曲線方程解得x 2 因此交點為 2 0 其極坐標為 2 考點1極坐標 解 以極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點O 以極軸為x軸的正半軸 建立直角坐標系xOy 化簡 得 2 2 sin 2 cos 4 0 則圓C的直角坐標方程為x2 y2 2x 2y 4 0 即 x 1 2 y 1 2 6 所以圓C的半徑為 規(guī)律方法 1 運用互化公式 將極坐標化為直角坐標 2 直角坐標方程與極坐標方程的互化 關(guān)鍵要掌握好互化公式 研究極坐標系下圖形的性質(zhì) 可轉(zhuǎn)化直角坐標系的情境進行 R 距離的最大值是 互動探究 1 2015年安徽 在極坐標中 圓 8sin 上的點到直線 6 解析 由題意 2 8 sin 轉(zhuǎn)化為普通方程為x2 y2 8y 即 x2 y 4 2 16 直線 R 轉(zhuǎn)化為普通方程為y x 則圓上的點到直線的距離最大值是通過圓心的直線上半徑加上圓心到直線的距離 設(shè)圓心到直線的距離d 圓的半徑為r 則 圓上的點到直線距離的最大值D d r 4 2 4 6 2 在極坐標系中 設(shè)圓 3上的點到直線 cos sin 2的距離為d 求d的最大值 解 將極坐標方程轉(zhuǎn)化為普通方程x2 y2 9 它的最大值為4 考點2參數(shù)方程 1 寫出曲線C的參數(shù)方程 直線l的普通方程 2 過曲線C上任意一點P作與l夾角為30 的直線 交l于點A 求 PA 的最大值與最小值 規(guī)律方法 常見的消參數(shù)法有 代入消元 拋物線的參數(shù)方程 加減消元 直線的參數(shù)方程 平方后再加減消元 圓 橢圓的參數(shù)方程 等 經(jīng)常使用的公式有sin2 cos2 1 在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程的過程中一定要注意參數(shù)的范圍 確保普通方程與參數(shù)方程等價 互動探究 考點3 極坐標與參數(shù)方程的相互轉(zhuǎn)化 規(guī)律方法 1 將曲線C2與C1的極坐標方程化為直角坐標方程 聯(lián)立求交點 得其交點的直角坐標 也可以直接聯(lián)立極坐標方程 求得交點的極坐標 再化為直角坐標 2 分別聯(lián)立C2與C1和C3與C1的極坐標方程 求得A B的極坐標 由極徑的概念將 AB 表示 轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值問題處理 高考試卷對參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義和極坐標方程中極徑和極角的概念考查加大了力度 復(fù)習(xí)時要克服把所有問題直角坐標化的誤區(qū) 互動探究 4 2013年新課標 已知曲線C1的參數(shù)方程為 x 4 5cost y 5 5sint t為參數(shù) 以坐標原點為極點 x軸的正半軸 為極軸建立極坐標系 曲線C2的極坐標方程為 2sin 1 把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程 2 求C1與C2交點的極坐標 0 0 2 易錯 易混 易漏 參數(shù)方程與普通方程互化時應(yīng)注意參數(shù)的取值范圍 正解 C1 x2 y2 5 0 x C2 y x 1 解得交點坐標為 2 1 答案 2 1 2 曲線 x sin y sin2 為參數(shù) 與直線y a有兩個公共點 則實數(shù)a的取值范圍是 正解 如圖10 4 1 曲線 x sin y sin2 為參數(shù) 為拋物線y x2 1 x 1 若曲線與直線y a有兩個公共點 則借助圖形觀察易得0 a 1 圖10 4 1答案 0 1 失誤與防范 在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時 不僅僅是把其中的參數(shù)消去 還要注意x y的取值范圍 同時在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性 本題很容易忽略參數(shù)方程中0 sin2 1的限制而致錯 1 簡單曲線的極坐標方程可結(jié)合極坐標系中 和 的具體含義求出 也可利用極坐標方程與直角坐標方程的互化得出 同直角坐標方程一樣 由于建系的不同 曲線的極坐標方程也會不同 在沒有充分理解極坐標的前提下 可先化成直角坐標解決問題 2 在直角坐標系中 很多比較復(fù)雜的計算 如圓錐曲線 若借助于參數(shù)方程來解決 將會大大簡化計算量 將曲線的參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消去其中的參數(shù) 此時要注意其中的x y 它們都是參數(shù)的函數(shù) 的取值范圍 也即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性 參數(shù)方程化普通方程常用的消參技巧有 代入消元 加減消元 平方后再加減消元等 同極坐標方程一樣 在沒有充分理解參數(shù)方程的前提下 可先化成直角坐標方程再去解決相關(guān)問題