第5講不等式選講 1 常用的證明不等式的方法 1 比較法 比較法包括作差比較法和作商比較法 2 綜合法 利用某些已經(jīng)證明過的不等式 例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理 和不等式的性質(zhì) 推導(dǎo)出所要證明的不等式 3 分析法 證明不等式時 有時可以從求證的不等式出發(fā) 分析使這個不等式成立的充分條件 把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題 如果能夠肯定這些充分條件都已具備 那么就可以斷定原不等式成立 4 反證法 可以從正難則反的角度考慮 即要證明不等式A B 先假設(shè)A B 由題設(shè)及其他性質(zhì) 推出矛盾 從而肯定A B 凡涉及的證明不等式為否定命題 唯一性命題或含有 至多 至少 不存在 不可能 等詞語時 可以考慮用反證法 5 放縮法 要證明不等式A B成立 借助一個或多個中間 變量通過適當?shù)姆糯蠡蚩s小達到證明不等式的方法 2 絕對值不等式 1 含絕對值不等式的解法 設(shè)a 0 f x a f x a 2 理解絕對值的幾何意義 a b a b a b 1 2015年新課標 已知函數(shù)f x x 1 2 x a a 0 1 當a 1時 求不等式f x 1的解集 2 若f x 圖象與x軸圍成的三角形面積大于6 求a的取值范圍 1 求a3 b3的最小值 2 是否存在a b 使得2a 3b 6 并說明理由 3 2013年新課標 已知函數(shù)f x 2x 1 2x a g x x 3 1 當a 2時 求不等式f x g x 的解集 時 f x g x 求a的取 2 設(shè)a 1時 且當x 值范圍 解 1 當a 2時 不等式f x g x 化為 2x 1 2x 2 x 3 0 設(shè)函數(shù)y 2x 1 2x 2 x 3 其圖象如圖D63 從圖象可知 圖D63 當且僅當x 0 2 時 y 0 所以原不等式的解集是 x 0 x 2 考點1 不等式的證明 例1 2013年江蘇 已知a b 0 求證 2a3 b3 2ab2 a2b 證明 2a3 b3 2ab2 a2b 2a3 2ab2 a2b b3 2a a2 b2 b a2 b2 a2 b2 2a b a b a b 2a b 又 a b 0 a b 0 a b 0 2a b 0 a b a b 2a b 0 2a3 b3 2ab2 a2b 0 2a3 b3 2ab2 a2b 規(guī)律方法 比較法證不等式的步驟可歸納為 作差并化簡 其化簡目標應(yīng)是n個因式之積或完全平方 式或常數(shù)的形式 判斷差值與零的大小關(guān)系 必要時須進行討論 得出結(jié)論 例2 2013年新課標 設(shè)a b c均為正實數(shù) 且a b c 1 證明 證明 1 由a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca 得a2 b2 c2 ab bc ca 由題設(shè) 得 a b c 2 1 即a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 1 即3ab 3bc 3ac 1 即ab bc ca 規(guī)律方法 分析法證明不等式 就是 執(zhí)果索因 從所證的不等式出發(fā) 不斷用充分條件代替前面的不等式 直至使不等式成立的條件已具備 就斷定原不等式成立 當證題不知從何入手時 有時可以運用分析法而獲得解決 特別對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往是行之有效的方法 用分析法論證 若A 則B 這個命題的模式是 欲證命題B為真 只需證明命題B1為真 從而又只需證明命題B2為真 從而又 只需證明命題A為真 今已知A真 故B必真 簡寫為 B B1 B2 Bn A 1 cos 即證 2 cos cos 即證1 cos cos sin sin 2cos cos 只需證1 cos 結(jié)論顯然成立 故原不等式成立 考點2 絕對值不等式 例4 2012年新課標 已知函數(shù)f x x a x 2 1 當a 3時 求不等式f x 3的解集 2 若f x x 4 的解集包含 1 2 求a的取值范圍 2x 5 x 2 解 1 當a 3時 f x 1 2 x 3 2x 5 x 3 當x 2時 由f x 3 得 2x 5 3 解得x 1 當2 x 3時 f x 3 無解 當x 3時 由f x 3 得2x 5 3 解得x 4 f x 3的解集為 x x 1或x 4 2 f x x 4 x 4 x 2 x a 當x 1 2 時 x a x 4 x 2 4 x x 2 2 2 a x 2 a 由條件得 2 a 1 且2 a 2 即 3 a 0 故滿足條件的a的取值范圍為 3 0 例5 已知函數(shù)f x ax 2 ax a a 0 1 當a 1時 求f x x的解集 2 若不存在實數(shù)x 使f x 3成立 求a的取值范圍 解 1 當a 1時 f x x 2 x 1 x 當x 2時 解得x 3 當1 x 2時 解得x 1 無解 當x 1時 解得x 1 綜上可得到解集 x x 1 或x 3 2 依題意 對 x R 都有f x 3 則f x ax 2 ax a ax 2 ax a a 2 3 a 2 3 或a 2 3 a 5 或a 1 舍去 a 5 例6 2015年福建 已知a 0 b 0 c 0 函數(shù)f x x a x b c的最小值為4 1 求a b c的值 解 1 因為f x x a x b c x a x b c a b c 當且僅當 a x b時 等號成立 又a 0 b 0 所以 a b a b 所以f x 的最小值為a b c 所以a b c 4 1 利用比較法證明不等式時 為了判斷作差后的符號 有時要把這個差變形為一個常數(shù) 或者變形為一個常數(shù)與一個或幾個平方和的形式 也可變形為幾個因式的積的形式 以便判斷其正負 2 分析法和綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法 分析法的證明過程 恰好是綜合法的分析 思考過程 即綜合法是分析法的逆過程 混淆了它們間的區(qū)別與聯(lián)系易產(chǎn)生思維障礙 要注意兩種證明方法的書寫格式 否則易產(chǎn)生邏輯上的錯誤 利用反證法證明問題是從否定結(jié)論入手的 沒有使用假設(shè)命題而推出矛盾結(jié)果 其推理過程是錯誤的 3 放縮法證明不等式的理論依據(jù)主要有 1 不等式的傳遞性 2 等量加不等量為不等量 3 同分子 分母 異分母 分子 的兩個分式大小的比較 常用的放縮技巧有 舍掉 或加進 一些項 在分式中放大或縮小分子或分母 應(yīng)用均值不等式進行放縮 4 掌握絕對值不等式的解法和利用證明不等式的基本方法 5 含絕對值不等式的解法 等價轉(zhuǎn)化法 分類討論法及平 方法