第3講幾何證明選講 1 平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線 所得對應(yīng)線段成比例 推論1 平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊 或兩邊的 延長線 所得的對應(yīng)線段成比例 推論2 平行于三角形的一邊 并且和其他兩邊相交的直線 所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例 2 射影定理的結(jié)論直角三角形一條直角邊的平方等于該直角邊在斜邊上射影與斜邊的乘積 斜邊上的高的平方等于兩條直角邊在斜邊上射影的乘積 在Rt ABC中 BAC 90 AD BC于點D 則AB2 BD BC AC2 CD CB AD2 BD DC 3 相似三角形的判定與性質(zhì) 4 圓周角定理與圓心角定理 1 圓周角定理及其推論 定理 圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的 一半 推論 1 推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等 同圓 或等圓中 相等的圓周角所對的弧也相等 2 推論2 半圓 或直徑 所對的圓周角是直角 90 的圓周 角所對的弦是直徑 3 圓心角定理 圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù) 5 弦切角的性質(zhì) 弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角 6 圓的切線的性質(zhì)及判定定理 1 定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑 2 推論 推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點 推論2 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心 7 與圓有關(guān)的比例線段 8 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理及推論 1 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理 定理1 圓內(nèi)接四邊形的對角互補 定理2 圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角 2 圓內(nèi)接四邊形的判定定理及推論 判定定理 如果一個四邊形的對角互補 那么這個四邊 形的四個頂點共圓 推論 如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角 那 么這個四邊形的四個頂點共圓 1 2015年天津 如圖10 3 1 在圓O中 M N是弦AB的三等分點 弦CD CE分別經(jīng)過點M N 若CM 2 MD 4 CN 3 則線段NE的長為 圖10 3 1 A 83 B 3 C 103 D 52 CM MD2 48 解析 由相交弦定理可知 AM MB CM MD CN NE AN NB 又因為M N是弦AB的三等分點 所以AM MB AN NB CN NE CM MD 所以NE CN33 故選A 答案 A 2 2015年廣東 如圖10 3 2 AB為圓O的直徑 點E為AB的延長線上一點 過點E作圓O的切線 切點為C 過點A 則AD 作直線EC的垂線 垂足為D 若AB 4 CE 圖10 3 2 圖D70答案 3 3 2015年重慶 如圖10 3 3 圓O的弦AB CD相交于點E 過點A作圓O的切線與DC的延長線交于點P 若PA 6 AE 9 PC 3 CE ED 2 1 則BE 圖10 3 3 PD 12 CE ED6 3 解析 由切割線定理 得 PA2 PC PD 因此 623 CD PD PC 9 又CE ED 2 1 因此CE 6 ED 3 因 為AE EB CE ED 所以BE AE9 2 答案 2 考點1 相似三角形 例1 2015年江蘇 如圖10 3 4 在 ABC中 AB AC ABC的外接圓圓O的弦AE交BC于點D 求證 ABD AEB 圖10 3 4 解 因為AB AC 所以 ABD C 又因為 C E 所以 ABD E 又 BAE DAB 所以 ABD AEB 規(guī)律方法 1 判定兩個三角形相似的常規(guī)思路 先找兩對對應(yīng)角相等 若只能找到一對對應(yīng)角相等 則判斷相等的角的兩夾邊是否對應(yīng)成比例 若找不到角相等 就判斷三邊是否對應(yīng)成比例 否則考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的 傳遞性 2 借助圖形判斷三角形相似的方法 有平行線的可圍繞平行線找相似 有公共角或相等角的可圍繞角做文章 再找其他相等的角或?qū)?yīng)邊成比例 有公共邊的可將圖形旋轉(zhuǎn) 觀察其特征 找出相等的角或成比例的對應(yīng)邊 互動探究 1 2012年新課標(biāo) 如圖10 3 5 D E分別是 ABC邊AB AC的中點 直線DE交 ABC的外接圓于F G兩點 若CF AB 證明 1 CD BC 3 BCD GBD 圖10 3 5 解 1 如圖D72 D E分別為AB AC的中點 DE BC CF AB 四邊形BCFD是平行四邊形 CF BD AD 連接AF 四邊形ADCF是平行四邊形 CD AF CF AB BC AF CD BC 圖D72 2 FG BC GB CF 由 1 知 BD CF GB BD DGB EFC DBC BCD GBD 考點2 與圓有關(guān)的角 例2 2015年新課標(biāo) 如圖10 3 6 AB是圓O的直徑 AC是圓O的切線 BC交圓O于點E 1 若D為AC的中點 證明 DE是O的切線 2 若OA CE 求 ACB的大小 圖10 3 6 解 1 如圖D71 連接AE 由已知 得AE BC AC AB 在Rt AEC中 由已知 得DE AD DC DEC DCE 連接OE OBE OEB ACB ABC 90 DEC OEB 90 圖D71 OED 90 DE是圓O的切線 規(guī)律方法 在解有關(guān)切線的問題時 要從以下幾個方面進行思考 見到切線 切點與圓心的連線垂直于切線 過切點有弦 應(yīng)想到弦切角定理 若切線與一條割線相交 應(yīng)想到切割線定理 若要證明某條直線是圓的切線 則證明直線與圓的交點與圓心的連線與該直線垂直 互動探究 2 2014年新課標(biāo) 如圖10 3 7 四邊形ABCD是 O的內(nèi)接四邊形 AB的延長線與DC的延長線交于點E 且CB CE 1 證明 D E 2 設(shè)AD不是 O的直徑 AD的中點為M 且MB MC 證明 ADE為等邊三角形 圖10 3 7 解 1 由題設(shè)知 A B C D四點共圓 所以 D CBE 由已知 得 CBE E 故 D E 2 如圖D73 設(shè)BC的中點為N 連接MN 則由MB MC知 MN BC 故O在直線MN上 又AD不是 O的直徑 M為AD的中點 故OM AD 即MN AD 所以AD BC 故 A CBE 又 CBE E 故 A E 圖D73 由 1 知 D E 所以 ADE為等邊三角形 考點3與圓有關(guān)的比例線段 例3 2014年新課標(biāo) 如圖10 3 8 P是 O外一點 PA是切線 A為切點 割線PBC與 O相交于點B C PC 2PA D為PC的中點 AD的延長線交 O于點E 證明 圖10 3 8 1 BE EC 2 AD DE 2PB2 證明 1 如圖10 3 9 連接AB AC 由題設(shè)知PA PD 圖10 3 9 故 PAD PDA 因為 PDA DAC DCA PAD BAD PAB DCA PAB 所以 DAC BAD 因此BE EC 2 由切割線定理 得PA2 PB PC 因為PC 2PA 所以PA 2BP 所以PD 2PB 所以BD PB 所以BD DC PB 2PB 由相交弦定理 得AD DE BD DC 所以AD DE 2PB2 規(guī)律方法 相交弦定理為圓中證明等積式和有關(guān)計算提供了有力的方法和工具 應(yīng)用時一方面要熟記定理的等積式的結(jié)構(gòu)特征 另一方面在與定理相關(guān)的圖形不完整時 要用輔助線補齊相應(yīng)部分 在實際應(yīng)用中 見到圓的兩條相交弦就要想到相交弦定理 見到圓的兩條割線就要想到割線定理 見到圓的切線和割線就要想到切割線定理 互動探究 3 2015年湖南 如圖10 3 10 在圓O中 相交于點E的兩弦AB CD的中點分別是M N 直線MO與直線CD相交于點F 證明 1 MEN NOM 180 2 FE FN FM FO 圖10 3 10 解 1 如圖D74 M N分別是弦AB CD的中點 OM AB ON CD 即 OME 90 ENO 90 OME ENO 180 又四邊形的內(nèi)角和等于360 故 MEN NOM 180 2 由 1 知 O M E N四點共圓 故由割線定理即得FE FN FM FO 圖D74 易錯 易混 易漏 審題不清造成漏解例題 過不在 O上的一點A作直線交 O于B C 且AB AC 64 OA 10 則 O的半徑等于 正解 當(dāng)點A在圓外時 由割線定理 得AB AC 64 OA r OA r 100 r2 r2 36 r 6 當(dāng)點A在圓內(nèi)時 根據(jù)相交弦定理 有AB AC 64 OA r r OA r2 100 r2 164 r 答案 或6 失誤與防范 點A不在 O上 則點A有可能在圓外 也有可能在圓內(nèi) 對于沒有給出圖形的問題要認真審題 并想清楚各種可能 本題很容易思維定勢地認為點A在圓外而出錯 1 圓周角定理與圓心角定理在證明角相等時有較普遍的應(yīng) 用 尤其是利用定理進行等角代換與傳遞 2 要注意一些常用的添加輔助線的方法 若證明直線與圓相切 則連接直線與圓的公共點和圓心證垂直 遇到直徑時 一般要引直徑所對的圓周角 利用直徑所對的圓周角是直角解決有關(guān)問題 3 判斷兩線段是否相等 除一般方法 通過三角形全等 外 也可用等線段代換 或用圓心角定理及其推論證明 4 證明多點共圓的常用方法 1 證明幾個點與某個定點距離相等 2 如果某兩點在某條線段的同旁 證明這兩點對這條線段 的張角相等 3 證明凸四邊形內(nèi)對角互補 或外角等于它的內(nèi)角的對角 5 圓中比例線段有關(guān)定理常與圓周角 弦切角聯(lián)合應(yīng)用 要注意在題中找相等的角 找相似三角形 從而得到線段的比