第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 高考定位1 導(dǎo)數(shù)的意義和運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ) 是高考的一個(gè)熱點(diǎn) 2 利用函數(shù)的單調(diào)性和最值確定函數(shù)的解析式或參數(shù)的值及解決與不等式的交匯問題等 突出考查導(dǎo)數(shù)的工具性作用 1 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 1 函數(shù)y f x 在x x0處的導(dǎo)數(shù)f x0 就是曲線y f x 在點(diǎn) x0 f x0 處的切線的斜率 即k f x0 2 曲線y f x 在點(diǎn) x0 f x0 處的切線方程為y f x0 f x0 x x0 2 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則 1 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 3 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)如果已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增 減 則這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間上大 小 于零恒成立 在區(qū)間上離散點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于零 不影響函數(shù)的單調(diào)性 如函數(shù)y x sinx 4 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值對(duì)可導(dǎo)函數(shù)而言 某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)等于零是函數(shù)在該點(diǎn)取得極值的必要條件 例如f x x3 雖有f 0 0 但x 0不是極值點(diǎn) 因?yàn)閒 x 0恒成立 f x x3在 上是單調(diào)遞增函數(shù) 無極值 5 閉區(qū)間上函數(shù)的最值在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù) 一定有最大值和最小值 其最大值是區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值和在這個(gè)區(qū)間內(nèi)函數(shù)的所有極大值中的最大者 最小值是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值和在這個(gè)區(qū)間內(nèi)函數(shù)的所有極小值中的最小值 6 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 1 若可導(dǎo)函數(shù)f x 在 a b 上單調(diào)遞增 則f x 0在區(qū)間 a b 上恒成立 2 若可導(dǎo)函數(shù)f x 在 a b 上單調(diào)遞減 則f x 0在區(qū)間 a b 上恒成立 3 可導(dǎo)函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上為增函數(shù)是f x 0的必要不充分條件 答案 1 1 1 2 x y 2 0 規(guī)律方法函數(shù)切線的相關(guān)問題的解決 抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) 其一 切點(diǎn)是交點(diǎn) 其二 在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率 因此 解決此類問題 一般要設(shè)出切點(diǎn) 建立關(guān)系 方程 組 其三 求曲線的切線要注意 過點(diǎn)P的切線 與 在點(diǎn)P處的切線 的差異 答案 1 A 2 4 熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) 例2 設(shè)函數(shù)f x 1 1 a x x2 x3 其中a 0 1 討論f x 在其定義域上的單調(diào)性 2 當(dāng)x 0 1 時(shí) 求f x 取得最大值和最小值時(shí)的x的值 又f 0 1 f 1 a 所以當(dāng)0 a 1時(shí) f x 在x 1處取得最小值 當(dāng)a 1時(shí) f x 在x 0處和x 1處同時(shí)取得最小值 當(dāng)1 a 4時(shí) f x 在x 0處取得最小值 規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的一般步驟 1 確定函數(shù)的定義域 2 求導(dǎo)函數(shù)f x 3 若求單調(diào)區(qū)間 或證明單調(diào)性 只要在函數(shù)定義域內(nèi)解 或證明 不等式f x 0或f x 0 若已知函數(shù)的單調(diào)性 則轉(zhuǎn)化為不等式f x 0或f x 0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題來求解 4 若求極值 則先求方程f x 0的根 再檢查f x 在方程根的左右函數(shù)值的符號(hào) 若已知極值大小或存在情況 則轉(zhuǎn)化為已知方程f x 0根的大小或存在情況來求解 5 求函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 的最值時(shí) 在得到極值的基礎(chǔ)上 結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f a f b 與f x 的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值 當(dāng)x 0 5 時(shí) f x 0 故f x 在 0 5 內(nèi)為減函數(shù) 當(dāng)x 5 時(shí) f x 0 故f x 在 5 內(nèi)為增函數(shù) 由此知函數(shù)f x 在x 5時(shí)取得極小值f 5 ln5 熱點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)與方程 不等式的問題 例3 2014 浙江卷 已知函數(shù)f x x3 3 x a a 0 若f x 在 1 1 上的最小值記為g a 1 求g a 2 證明 當(dāng)x 1 1 時(shí) 恒有f x g a 4 1 解因?yàn)閍 0 1 x 1 所以 當(dāng)0 a 1時(shí) 若x 1 a 則f x x3 3x 3a f x 3x2 3 0 故f x 在 1 a 上是減函數(shù) 若x a 1 則f x x3 3x 3a f x 3x2 3 0 故f x 在 a 1 上是增函數(shù) 所以g a f a a3 2 證明令h x f x g a 當(dāng)0 a 1時(shí) g a a3 若x a 1 h x x3 3x 3a a3 得h x 3x2 3 則h x 在 a 1 上是增函數(shù) 所以 h x 在 a 1 上的最大值是h 1 4 3a a3 且0 a 1 所以h 1 4 故f x g a 4 若x 1 a h x x3 3x 3a a3 得h x 3x2 3 則h x 在 1 a 上是減函數(shù) 所以 h x 在 1 a 上的最大值是h 1 2 3a a3 令t a 2 3a a3 則t a 3 3a2 0 知t a 在 0 1 上是增函數(shù) 所以 t a t 1 4 即h 1 4 故f x g a 4 當(dāng)a 1時(shí) g a 2 3a 故h x x3 3x 2 得h x 3x2 3 此時(shí)h x 在 1 1 上是減函數(shù) 因此h x 在 1 1 上的最大值是h 1 4 故f x g a 4 綜上 當(dāng)x 1 1 時(shí) 恒有f x g a 4 規(guī)律方法研究方程及不等式問題 都要運(yùn)用函數(shù)性質(zhì) 而導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具 基本思路是構(gòu)造函數(shù) 通過導(dǎo)數(shù)的方法研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性 極值和特殊點(diǎn)的函數(shù)值 根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)推斷不等式成立的情況以及方程實(shí)根的個(gè)數(shù) 必要時(shí)畫出函數(shù)的草圖輔助思考 1 利用公式求導(dǎo)時(shí) 一定要注意公式的適用范圍及符號(hào) 如 xn nxn 1 其中n Q cosx sinx 2 如果一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不止一個(gè) 這些單調(diào)區(qū)間不能用 連接 而只能用逗號(hào)或 和 字隔開 3 可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間 a b 上的最值 就是函數(shù)在該區(qū)間上的極值及端點(diǎn)值中的最大值與最小值 4 可導(dǎo)函數(shù)極值的理解 1 函數(shù)在定義域上的極大值與極小值的大小關(guān)系不確定 也有可能極小值大于極大值 2 對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f x f x 在x x0處的導(dǎo)數(shù)f x 0 是 f x 在x x0處取得極值 的必要不充分條件 3 注意導(dǎo)函數(shù)的圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系 導(dǎo)函數(shù)由正變負(fù)的零點(diǎn)是原函數(shù)的極大值點(diǎn) 導(dǎo)函數(shù)由負(fù)變正的零點(diǎn)是原函數(shù)的極小值點(diǎn)