第1講函數(shù)與方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 一 函數(shù)與方程思想 思想概述 函數(shù)與方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要概念 它們之間有著密切的聯(lián)系 函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想 主要依據(jù)題意 構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù) 或建立相應(yīng)的方程來解決問題 是歷年高考的重點和熱點 方程的思想與函數(shù)的思想密切相關(guān) 方程f x 0的解就是函數(shù)y f x 的圖象與x軸的交點的橫坐標 函數(shù)y f x 也可以看作二元方程f x y 0 通過方程進行研究 方程f x a有解 當且僅當a屬于函數(shù)f x 的值域 函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要 函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用可從以下幾個方面思考 1 函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化 對函數(shù)y f x 當y 0時 就轉(zhuǎn)化為不等式f x 0 借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題 而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式 2 數(shù)列的通項與前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù) 用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題十分重要 數(shù)列也可用方程思想求解 3 1 解析幾何中的許多問題 需要通過解二元方程組才能解決 這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論 2 立體幾何中有關(guān)線段 角 面積 體積的計算 經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決 建立空間直角坐標系后 立體幾何與函數(shù)的關(guān)系更加密切 類型講解 類型一函數(shù)方程思想在不等式恒成立 函數(shù)零點問題中的應(yīng)用 例1 已知函數(shù)f x ex ax 其中a 0 1 若對一切x R f x 1恒成立 求a的取值集合 2 在函數(shù)f x 的圖象上取定兩點A x1 f x1 B x2 f x2 x1 x2 記直線AB的斜率為k 證明 存在x0 x1 x2 使f x0 k成立 1 解f x ex a 令f x 0 得x lna 當x lna時 f x 0 當x lna時 f x 0 f x 在 lna 上是減函數(shù) 在 lna 上是增函數(shù) 故當x lna時 f x 取最小值f lna a alna 于是對一切x R f x 1恒成立 當且僅當a alna 1 令g t t tlnt 則g t lnt 當0 t 1時 g t 0 g t 單調(diào)遞增 當t 1時 g t 0 g t 單調(diào)遞減 故當t 1時 g t 取最大值g 1 1 因此 當且僅當a 1時 式成立 綜上所述 a的取值集合為 1 規(guī)律方法 1 本題求解的關(guān)鍵在于恰當構(gòu)造函數(shù) 第 1 問中x R 恒有f x 1 轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f x min 1 即轉(zhuǎn)化為a alna 1 構(gòu)造函數(shù) 求a alna最大值為1 從而把不等式 轉(zhuǎn)化為方程 第 2 問中在第 1 問中判定 x1 x2 符號 構(gòu)建函數(shù)F t et t 1 利用單調(diào)性加以確定 抓住函數(shù)這一靈魂 找到解題的利器 2 題目綜合考查導(dǎo)數(shù) 斜率公式 函數(shù)的零點 不等式等基礎(chǔ)知識 靈活利用函數(shù)方程思想 有效實施方程 不等式 函數(shù)之間相互轉(zhuǎn)化 規(guī)律方法 1 等差 等比數(shù)列中 通項公式 前n項和公式 可以看成n的函數(shù) 可以用函數(shù)方法解決 2 而數(shù)列求值問題的實質(zhì)是解方程 所以 方程思想在數(shù)列問題中也有著重要的作用 2 幾何最值是高考的熱點 在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn) 求解此類問題的一般思路為在深刻認識運動變化的過程之中 抓住函數(shù)關(guān)系 將目標量表示為一個 或者多個 變量的函數(shù) 然后借助于函數(shù)最值的探求來使得問題得以解決 二 數(shù)形結(jié)合思想 思想概述 數(shù)形結(jié)合思想的實質(zhì)是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言有機結(jié)合 達到抽象思維和形象思維的和諧統(tǒng)一 通過對規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析 化抽象為直觀 化直觀為精確 從而使問題得到解決 數(shù)形結(jié)合包含 以形助數(shù) 和 以數(shù)輔形 兩個方面 其應(yīng)用大致可以分為兩種情形 一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)形之間的聯(lián)系 即以形作為手段 數(shù)作為目的 比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì) 二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性 即以數(shù)作為手段 形作為目的 如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì) 在運用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時 要注意三點 1 要徹底明白一些概念和運算法則的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征 對題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義 2 選擇好突破口 恰當設(shè)參 合理用參 建立關(guān)系 由數(shù)思形 以形想數(shù) 做好數(shù)形轉(zhuǎn)化 3 挖掘隱含條件 準確界定參數(shù)的取值范圍 參數(shù)的范圍決定圖形的范圍 數(shù)形結(jié)合思想是重要的思維方式 在高考中占有非常重要的地位 近幾年的高考題中的曲線方程問題 函數(shù)與不等式問題 參數(shù)范圍問題 可行域與目標函數(shù)最值 向量兩重性等 都用到了數(shù)形結(jié)合的思想方法 它不僅是我們解題的一種思想方法 還是我們進一步學(xué)習(xí) 研究數(shù)學(xué)的有力武器 解析 1 畫可行域如圖所示 類型二解析幾何中的數(shù)形結(jié)合思想 例2 在平面直角坐標系xOy中 過定點C 0 p 作直線與拋物線x2 2py p 0 相交于A B兩點 1 若點N是點C關(guān)于坐標原點O的對稱點 求 ABN面積的最小值 2 是否存在垂直于y軸的直線l 使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值 若存在 求出l的方程 若不存在 請說明理由 解 1 如圖所示 依題意 點N的坐標為N 0 p 可設(shè)A x1 y1 B x2 y2 直線AB的方程為y kx p 與x2 2py聯(lián)立消去y得x2 2pkx 2p2 0 2 如圖所示 假設(shè)滿足條件的直線l存在 其方程為y a 設(shè)AC的中點為O l與以AC為直徑的圓相交于點P Q PQ的中點為H 規(guī)律方法 1 本題是一個考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系的開放性問題 數(shù)形結(jié)合思想中一個非常重要的方面是以數(shù)解形 通過方程等代數(shù)的方法來研究幾何問題 也就是解析法 解析法與幾何法結(jié)合來解題 會有更大的功效 2 此類題目的求解要結(jié)合該類圖形的幾何性質(zhì) 將條件信息和結(jié)論信息結(jié)合在一起 觀察圖形特征 轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言 即方程 組 或不等式 組 從而將問題解決