第2講數(shù)列的通項與求和問題 高考定位從全國卷來看 由于三角和數(shù)列問題在解答題中輪換命題 若考查數(shù)列解答題 則以數(shù)列的通項與求和為核心地位來考查 題目難度不大 真題感悟 考點整合 熱點一求數(shù)列的通項 微題型1 由Sn與an的關(guān)系式求an 解 1 由已知Sn 2an a1 有an Sn Sn 1 2an 2an 1 n 2 即an 2an 1 n 2 從而a2 2a1 a3 2a2 4a1 又因為a1 a2 1 a3成等差數(shù)列 即a1 a3 2 a2 1 所以a1 4a1 2 2a1 1 解得a1 2 所以 數(shù)列 an 是首項為2 公比為2的等比數(shù)列 故an 2n 探究提高給出Sn與an的遞推關(guān)系求an 常用思路是 一是利用Sn Sn 1 an n 2 轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系 再求其通項公式 二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系 先求出Sn與n之間的關(guān)系 再求an 微題型2 已知an與an 1的遞推關(guān)系求an 探究提高此題考查了通過構(gòu)造新數(shù)列求數(shù)列的通項 其過程是通過換元構(gòu)造新的數(shù)列 得到bn 1 bn n 然后利用累加法求得數(shù)列的通項 事實上 形如bn 1 bn f n 其中f n k或多項式 一般不高于三次 的遞推公式 用累加法即可求得數(shù)列的通項公式 熱點二數(shù)列求和 微題型1 分組轉(zhuǎn)化求和 1 證明由條件 對任意n N 有an 2 3Sn Sn 1 3 因而對任意n N n 2 有an 1 3Sn 1 Sn 3 兩式相減 得an 2 an 1 3an an 1 即an 2 3an n 2 又a1 1 a2 2 所以a3 3S1 S2 3 3a1 a1 a2 3 3a1 故對一切n N an 2 3an 探究提高在處理一般數(shù)列求和時 一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想 把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進行求和 在求和時要分析清楚哪些項構(gòu)成等差數(shù)列 哪些項構(gòu)成等比數(shù)列 清晰正確地求解 在利用分組求和法求和時 由于數(shù)列的各項是正負交替的 所以一般需要對項數(shù)n進行討論 最后再驗證是否可以合并為一個公式 微題型2 裂項相消法求和 微題型3 錯位相減法求和 探究提高錯位相減法適用于求數(shù)列 an bn 的前n項和 其中 an 為等差數(shù)列 bn 為等比數(shù)列 所謂 錯位 就是要找 同類項 相減 要注意的是相減后得到部分等比數(shù)列的和 此時一定要查清其項數(shù) 3 錯位相減法的關(guān)注點 1 適用題型 等差數(shù)列 an 乘以等比數(shù)列 bn 對應(yīng)項 an bn 型數(shù)列求和 2 步驟 求和時先乘以數(shù)列 bn 的公比 把兩個和的形式錯位相減 整理結(jié)果形式