專題一 第三講 思想方法概述 應(yīng)用角度例析 通法歸納領(lǐng)悟 專題專項(xiàng)訓(xùn)練 角度一 角度二 角度三 1 分類討論思想的含義分類討論思想就是當(dāng)問題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí) 需要把研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類 然后對(duì)每一類分別研究得出結(jié)論 最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答 實(shí)質(zhì)上 分類討論是 化整為零 各個(gè)擊破 再積零為整 的解題策略 2 分類討論的常見類型有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)問題需要運(yùn)用分類討論思想來解決 引起分類討論的原因大致可歸納為如下幾種 1 由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論 有的概念本身是分類的 如絕對(duì)值 直線斜率 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)等 2 由性質(zhì) 定理 公式的限制引起的分類討論 有的數(shù)學(xué)定理 公式 性質(zhì)是分類給出的 在不同的條件下結(jié)論不一致 如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 函數(shù)的單調(diào)性等 3 由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論 如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零 偶次方根被開方數(shù)為非負(fù) 對(duì)數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求 指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求 不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù) 負(fù)數(shù) 三角函數(shù)的定義域等 4 由圖形的不確定性引起的分類討論 有的圖形類型 位置需要分類 如角的終邊所在的象限 點(diǎn) 線 面的位置關(guān)系等 5 由參數(shù)的變化引起的分類討論 某些含有參數(shù)的問題 如含參數(shù)的方程 不等式 由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同 或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法 6 由實(shí)際意義引起的討論 此類問題常常出現(xiàn)在應(yīng)用題中 特別是排列 組合中的計(jì)數(shù)問題 3 分類討論解題的步驟 1 確定分類討論的對(duì)象 即對(duì)哪個(gè)變量或參數(shù)進(jìn)行分類討論 2 對(duì)所討論的對(duì)象進(jìn)行合理的分類 3 逐類討論 即對(duì)各類問題詳細(xì)討論 逐步解決 4 歸納總結(jié) 將各類情況總結(jié)歸納 由概念 法則 公式引起的分類討論 2 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn pn 1 p是常數(shù) 則數(shù)列 an 是 A 等差數(shù)列B 等比數(shù)列C 等差數(shù)列或等比數(shù)列D 以上都不對(duì) 思路點(diǎn)撥 1 由于題目中沒有明確此圓錐曲線是橢圓還是雙曲線 故應(yīng)進(jìn)行分類討論 2 由于公式an Sn Sn 1適用條件為n 2 另外p的取值會(huì)影響數(shù)列的性質(zhì) 故應(yīng)考慮分類討論 2 Sn pn 1 a1 p 1 an Sn Sn 1 p 1 pn 1 n 2 當(dāng)p 1 且p 0時(shí) an 是等比數(shù)列 當(dāng)p 1時(shí) an 是等差數(shù)列 當(dāng)p 0時(shí) a1 1 an 0 n 2 此時(shí) an 既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 答案 1 A 2 D 1 圓錐曲線沒有給定時(shí) 要討論是哪類圓錐曲線 否則會(huì)造成漏解 本題中由于所給曲線有兩個(gè)焦點(diǎn) 所以不必考慮拋物線 2 本題的討論在于p的取值 同時(shí)對(duì)n的取值還要討論 極易錯(cuò)誤地選取C的原因就是忽略了對(duì)n的討論 例2 2012 北京高考 已知函數(shù)f x ax2 1 a 0 g x x3 bx 1 若曲線y f x 與曲線y g x 在它們的交點(diǎn) 1 c 處具有公共切線 求a b的值 2 當(dāng)a2 4b時(shí) 求函數(shù)f x g x 的單調(diào)區(qū)間 并求其在區(qū)間 1 上的最大值 思路點(diǎn)撥 1 由兩曲線在交點(diǎn) 1 c 處具有公切線知 f 1 g 1 f 1 g 1 由參數(shù)的變化而引起的分類討論 2 由于f x g x 的單調(diào)區(qū)間與a或b有關(guān) 因此求其在區(qū)間 1 上的最大值時(shí)應(yīng)對(duì)a或b的取值進(jìn)行分類討論 解 1 f x 2ax g x 3x2 b 因?yàn)榍€y f x 與曲線y g x 在它們的交點(diǎn) 1 c 處具有公共切線 所以f 1 g 1 且f 1 g 1 即a 1 1 b 且2a 3 b 解得a 3 b 3 由于所求的變量或參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致結(jié)果不同 所以要對(duì)某些問題中所求的變量進(jìn)行討論 而有的問題中雖然不需要對(duì)變量討論 但卻要對(duì)參數(shù)討論 在求解時(shí)要注意討論的對(duì)象 同時(shí)應(yīng)理順討論的目的 2 2012 溫州模擬 已知函數(shù)f x 2x a ex e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù) 1 求函數(shù)f x 的極小值 2 對(duì)區(qū)間 1 1 內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x 都有 2 f x e2成立 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 例3 拋物線y2 4px p 0 的焦點(diǎn)為F P為其上的一點(diǎn) O為坐標(biāo)原點(diǎn) 若 OPF為等腰三角形 則這樣的P點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 A 2B 3C 4D 6 思路點(diǎn)撥 由于本題只說明 OPF為等腰三角形 但是沒有明確三角形的頂點(diǎn) 因此應(yīng)進(jìn)行分類討論 根據(jù)圖形位置或形狀變化分類討論 答案 C 本題的分類討論是由于點(diǎn)P的位置變化而引起的 一般由圖形的位置或形狀變化引發(fā)的討論包括 二次函數(shù)對(duì)稱軸位置的變化 函數(shù)問題中區(qū)間的變化 函數(shù)圖像形狀的變化 直線由斜率引起的位置變化 圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化 立體幾何中點(diǎn) 線 面的位置變化等 5 冪函數(shù)y xa的冪指數(shù)a的正 負(fù)與定義域 單調(diào)性 奇偶性的關(guān)系 6 指數(shù)函數(shù)y ax及其反函數(shù)y logax中底數(shù)a 1及0 a 1對(duì)函數(shù)單調(diào)性的影響 7 等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中q 1與q 1的區(qū)別 8 不等式性質(zhì)中兩邊同乘 除 以正數(shù)或負(fù)數(shù)時(shí)對(duì)不等號(hào)方向的影響 9 直線與圓錐曲線位置關(guān)系的討論 10 運(yùn)用點(diǎn)斜式 斜截式直線方程時(shí)斜率k是否存在 2 利用分類討論思想應(yīng)注意以下問題 1 分類討論要標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一 層次分明 分類要做到 不重不漏 2 分類討論時(shí)要根據(jù)題設(shè)條件確定討論的級(jí)別 再確定每級(jí)討論的對(duì)象與標(biāo)準(zhǔn) 每級(jí)討論中所分類別應(yīng)做到與前面所述不重不漏 最后將討論結(jié)果歸類合并 其中級(jí)別與級(jí)別之間有嚴(yán)格的先后順序 類別和類別之間沒有先后 最后整合時(shí)要注意是取交集 并集 還是既不取交集也不取并集只是分條列出