第五節(jié)推理與證明 知識(shí)點(diǎn)一合情推理與演繹推理 1 推理 1 定義 推理是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來(lái)確定一個(gè)新的判斷的思維過(guò)程 2 分類 推理一般分為 與 兩類 合情推理 演繹推理 2 合理推理 部分對(duì)象 全部對(duì)象 一般結(jié)論 某些類似特征 部分 整體 個(gè)別 一般 特殊 特殊 3 演繹推理 1 定義 從 出發(fā) 推出 下的結(jié)論 我們把這種推理稱為演繹推理 2 特點(diǎn) 演繹推理是由 的推理 3 模式 三段論 三段論 是演繹推理的一般模式 包括 一般性的原理 某個(gè)特殊情況 一般到特殊 M是P S是M 知識(shí)點(diǎn)二直接證明與間接證明 1 直接證明直接證明中最基本的兩種證明方法是 和 1 綜合法 一般地 利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義 定理 公理等 經(jīng)過(guò)一系列的推理論證 最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立 這種證明方法叫做綜合法 綜合法又稱為 順推證法 2 分析法 一般地 從要證明的結(jié)論出發(fā) 逐步尋求使它成立的充分條件 直至最后 把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件 已知條件 定理 定義 公理等 為止 這種證明方法叫做分析法 分析法又稱為 逆推證法 綜合法 分析法 由因?qū)Ч?執(zhí)果索因法 2 間接證明 反證法一般地 假設(shè)原命題 即在原命題的條件下 結(jié)論不成立 經(jīng)過(guò)正確的推理 最后得出矛盾 因此說(shuō)明 從而證明了 這樣的證明方法叫做反證法 不成立 假設(shè)錯(cuò)誤 原命題成立 方法1推理問(wèn)題 1 歸納推理是由部分到整體 由特殊到一般的推理 由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確 通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多 越具有代表性 那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠 它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法 2 類比推理是由特殊到特殊的推理 其一般步驟為 找出兩類事物之間的相似性或一致性 用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì) 得出一個(gè)明確的命題 猜想 3 類比推理的關(guān)鍵是找到合適的類比對(duì)象 平面幾何中的一些定理 公式 結(jié)論等 可以類比到立體幾何中 得到類似的結(jié)論 點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是找出等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的關(guān)系 利用類比推理的定義求解 方法2綜合法和分析法 綜合法 分析法是直接證明的兩種基本方法 綜合法是把整個(gè)不等式看做一個(gè)整體 通過(guò)對(duì)欲證不等式的分析 觀察 選擇恰當(dāng)不等式作為證題的出發(fā)點(diǎn) 其難點(diǎn)在于到底從哪個(gè)不等式出發(fā)合適 這就要求我們不僅要熟悉 正確運(yùn)用作為定理性質(zhì)的不等式 還要注意這些不等式進(jìn)行恰當(dāng)變形后的利用 同時(shí)也可用分析法去 執(zhí)果索因 即從結(jié)論出發(fā) 逐步縮小范圍 進(jìn)而確定我們所需要的 因 解題指導(dǎo) 1 已知 本題為兩個(gè)小題 分別給出相應(yīng)條件 證明相應(yīng)不等式 2 分析 利用作差法可證明不等式成立 利用不等式的基本性質(zhì) 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)換底公式的知識(shí)解決問(wèn)題 點(diǎn)評(píng) 分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn) 實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用 先用分析法探索證明途徑 然后再用綜合法敘述出來(lái) 方法3反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題 反證法的適用范圍 1 否定性命題 2 結(jié)論涉及 至多 至少 無(wú)限 唯一 等詞語(yǔ)的命題 3 命題成立非常明顯 直接證明所用的理論太少 且不容易證明 而其逆否命題非常容易證明 4 要討論的情況很復(fù)雜 而反面情況很少 例3 設(shè)直線l1 y k1x 1 l2 y k2x 1 其中實(shí)數(shù)k1 k2滿足k1k2 2 0 1 證明 l1與l2相交 2 證明 l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2 y2 1上 解題指導(dǎo) 1 采用反證法 先假設(shè)l1與l2不相交 之后推出矛盾 2 求出交點(diǎn)坐標(biāo) 代入橢圓方程驗(yàn)證 答題模板 第一步 分清命題 p q 的條件和結(jié)論 第二步 作出與命題結(jié)論q相矛盾的假定綈q 第三步 由p和綈q出發(fā) 應(yīng)用正確的推理方法 推出矛盾結(jié)果 第四步 斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因 在于開(kāi)始所作的假設(shè)綈q不真 于是原結(jié)論q成立 從而間接地證明了命題 p q 為真