第五節(jié)推理與證明 知識點一合情推理與演繹推理 1 推理 1 定義 推理是根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程 2 分類 推理一般分為與兩類 合情推理 演繹推理 2 合理推理 全部對象 部分對象 一般結(jié)論 某些類似 特征 部分 整體 個別 一般 特殊 特殊 3 演繹推理 1 定義 從 出發(fā) 推出 下的結(jié)論 我們把這種推理稱為演繹推理 2 特點 演繹推理是由 的推理 3 模式 三段論 三段論 是演繹推理的一般模式 包括 一般性的原理 某個特殊情況 一般到特殊 M是P S是M 知識點二直接證明與間接證明1 直接證明直接證明中最基本的兩種證明方法是 和 1 綜合法 一般地 利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義 定理 公理等 經(jīng)過一系列的推理論證 最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立 這種證明方法叫做綜合法 綜合法又稱為 順推證法 2 分析法 一般地 從要證明的結(jié)論出發(fā) 逐步尋求使它成立的充分條件 直至最后 把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件 已知條件 定理 定義 公理等 為止 這種證明方法叫做分析法 分析法又稱為 逆推證法 綜合法 分析法 由因?qū)Ч?執(zhí)果索因法 2 間接證明 反證法一般地 假設(shè)原命題 即在原命題的條件下 結(jié)論不成立 經(jīng)過正確的推理 最后得出矛盾 因此說明 從而證明了 這樣的證明方法叫做反證法 不成立 假設(shè)錯誤 原命題成立 知識點三數(shù)學(xué)歸納法1 數(shù)學(xué)歸納法的定義 1 當n取第一個值n0時 證明命題成立 2 假設(shè)當n k k N k n0 時命題成立 并證明當 時 命題也成立 于是命題對一切n N n n0 命題都成立 這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法 n k 1 2 數(shù)學(xué)歸納法的步驟用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時 其步驟如下 1 當n n0時 驗證命題成立 2 假設(shè)n k k N k n0 時命題成立 推證 時 命題也成立 從而推出對所有的從n0開始的正整數(shù)命題成立 兩個步驟體現(xiàn)了遞推思想 第一步是遞推基礎(chǔ) 也叫歸納奠基 第二步是遞推的依據(jù) 也叫歸納遞推 兩者缺一不可 n k 1 方法1推理問題1 歸納推理是由部分到整體 由特殊到一般的推理 由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確 通常歸納的個體數(shù)目越多 越具有代表性 那么推廣的一般性命題也會越可靠 它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法 2 類比推理是由特殊到特殊的推理 其一般步驟為 找出兩類事物之間的相似性或一致性 用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì) 得出一個明確的命題 猜想 3 類比推理的關(guān)鍵是找到合適的類比對象 平面幾何中的一些定理 公式 結(jié)論等 可以類比到立體幾何中 得到類似的結(jié)論 點評 解決本題的關(guān)鍵是找出等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的關(guān)系 利用類比推理的定義求解 方法2綜合法和分析法綜合法 分析法是直接證明的兩種基本方法 綜合法是把整個不等式看做一個整體 通過對欲證不等式的分析 觀察 選擇恰當不等式作為證題的出發(fā)點 其難點在于到底從哪個不等式出發(fā)合適 這就要求我們不僅要熟悉 正確運用作為定理性質(zhì)的不等式 還要注意這些不等式進行恰當變形后的利用 同時也可用分析法去 執(zhí)果索因 即從結(jié)論出發(fā) 逐步縮小范圍 進而確定我們所需要的 因 點評 分析法和綜合法各有優(yōu)缺點 實際證題時常常兩法兼用 先用分析法探索證明途徑 然后再用綜合法敘述出來 方法3數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是常見題型 其關(guān)鍵點在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律 等式兩邊各有多少項 初始值n0是幾 2 由n k到n k 1時 除等式兩邊變化的項外還要充分利用n k時的式子 即充分利用假設(shè) 正確寫出歸納證明的步驟 從而使問題得以證明 例3 已知 ABC的三邊長都是有理數(shù) 1 求證 cosA是有理數(shù) 2 求證 對任意正整數(shù)n cosnA是有理數(shù) 解題指導(dǎo) 1 利用余弦定理求得cosA 再根據(jù)三邊長為有理數(shù)可得結(jié)論 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明即可 點評 由k到k 1的證明中尋找由k到k 1的變化規(guī)律是難點 突破難點的關(guān)鍵是掌握由k到k 1的證明方法 方法4反證法證明數(shù)學(xué)問題反證法的適用范圍 1 否定性命題 2 結(jié)論涉及 至多 至少 無限 唯一 等詞語的命題 3 命題成立非常明顯 直接證明所用的理論太少 且不容易證明 而其逆否命題非常容易證明 4 要討論的情況很復(fù)雜 而反面情況很少 例4 設(shè)直線l1 y k1x 1 l2 y k2x 1 其中實數(shù)k1 k2滿足k1k2 2 0 1 證明 l1與l2相交 2 證明 l1與l2的交點在橢圓2x2 y2 1上 解題指導(dǎo) 1 采用反證法 先假設(shè)l1與l2不相交 之后推出矛盾 2 求出交點坐標 代入橢圓方程驗證