第二節(jié)圓與方程及直線與圓的位置關(guān)系 知識點一圓的方程1 圓的定義及其方程 1 在平面內(nèi)到 的距離等于的點的軌跡叫做圓 2 確定一個圓的基本要素是 和 3 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 兩個條件 圓心 a b 半徑r 標(biāo)準(zhǔn)方程 x a 2 y b 2 r2 定點 圓心 半徑 定長 4 圓的一般方程 一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0 方程表示圓的充要條件為 D2 E2 4F 0 2 點與圓的位置關(guān)系 1 理論依據(jù) 與 的距離與半徑的大小關(guān)系 2 三個結(jié)論 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 x a 2 y b 2 r2 點M x0 y0 r2 點在圓上 r2 點在圓外 r2 點在圓內(nèi) x0 a 2 y0 b 2 x0 a 2 y0 b 2 x0 a 2 y0 b 2 圓心 點 知識點二直線與圓 圓與圓的位置關(guān)系1 直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線l Ax By C 0 A2 B2 0 圓 x a 2 y b 2 r2 r 0 d為圓心 a b 到直線l的距離 聯(lián)立直線和圓的方程 消元后得到的一元二次方程的判別式為 d r1 r2 d r1 r2 r1 r2 d r1 r2 無解 兩組不同的實數(shù)解 名師助學(xué) 1 確定一個圓的方程 需要三個獨立條件 選形式 定參數(shù) 是求圓的方程的基本方法 即根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇圓的方程的形式 進而確定其中的三個參數(shù) 同時注意利用幾何法求圓的方程時 要充分利用圓的性質(zhì) 2 確定圓的方程時 常用到的圓的三個性質(zhì) 1 圓心在過切點且垂直切線的直線上 2 圓心在任一弦的中垂線上 3 兩圓內(nèi)切或外切時 切點與兩圓圓心三點共線 方法1圓的方程求圓的方程的幾種方法 1 直接法 根據(jù)圓的幾何性質(zhì) 直接求出圓心坐標(biāo)和半徑 進而寫出方程 2 待定系數(shù)法 若已知條件與圓心 a b 和半徑r有關(guān) 則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 根據(jù)已知條件列出關(guān)于a b r的方程組 從而求出a b r的值 若已知條件沒有明確給出圓心或半徑 則選擇圓的一般方程 依據(jù)已知條件列出關(guān)于D E F的方程組 進而求出D E F的值 例1 1 過點A 2 4 B 3 1 兩點 并且在x軸上截得的弦長等于6的圓的方程為 2 經(jīng)過點A 2 4 且與直線l x 3y 26 0相切于點B 8 6 的圓的方程為 點評 解決此類問題的關(guān)鍵是設(shè)出圓的方程利用待定系數(shù)法求解 或利用圓的幾何性質(zhì)求出圓心及半徑 方法2直線與圓的位置關(guān)系 1 求過圓外一點 x0 y0 的圓的切線方程 幾何方法 當(dāng)斜率存在時 設(shè)為k 切線方程為y y0 k x x0 即kx y y0 kx0 0 由圓心到直線的距離等于半徑 即可得出切線方程 代數(shù)方法 設(shè)切線方程為y y0 k x x0 即y kx kx0 y0 代入圓的方程 得一個關(guān)于x的一元二次方程 由 0 求得k 切線方程即可求出 例2 已知點P 0 5 及圓C x2 y2 4x 12y 24 0 若直線l過P且被圓C截得的線段長為4 求l的方程 點評 解決本題的關(guān)鍵是利用弦心距 半徑 半弦長構(gòu)成的直角三角形求解 或?qū)⒅本€方程與圓的方程聯(lián)立利用弦長公式求解 方法3與圓有關(guān)的綜合問題直線與圓綜合問題的求解策略 1 利用解析幾何的基本思想方法 即幾何問題代數(shù)化 把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題 通過代數(shù)的計算 使問題得到解決 2 直線與圓和平面幾何聯(lián)系十分緊密 可充分考慮平面幾何知識的運用 如在直線與圓相交的有關(guān)線段長度計算中 要把圓的半徑 圓心到直線的距離 直線被圓截得的線段長度放到一起綜合考慮 例3 已知圓C x2 y2 2x 4y 4 0 問在圓C上是否存在兩點A B關(guān)于直線y kx 1對稱 且以AB為直徑的圓經(jīng)過原點 若存在 寫出直線AB的方程 若不存在 說明理由 解圓C的方程可化為 x 1 2 y 2 2 9 圓心為C 1 2 假設(shè)在圓C上存在兩點A B滿足條件 則圓心C 1 2 在直線y kx 1上 即k 1 于是可知 kAB 1 設(shè)lAB y x b 代入圓C的方程 整理得2x2 2 b 1 x b2 4b 4 0 則 4 b 1 2 8 b2 4b 4 0