第五節(jié)拋物線及其性質(zhì) 知識點一拋物線的定義與方程1 拋物線的定義 1 平面內(nèi)與一個定點F 點F不在直線l上 和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線 定點F叫做拋物線的焦點 定直線叫做拋物線的準線 2 滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線 在平面內(nèi) 動點到定點F距離與到定直線l的距離相等 定點不在定直線上 2 拋物線的方程在拋物線中 記焦點F到準線l的距離為p 以拋物線的焦點F到準線l垂線段的中點為坐標原點 以拋物線的軸所在直線為坐標軸建立坐標系 可以得到拋物線的四種不同形式的標準方程y2 2px x2 2py 其中p 0 知識點二拋物線的幾何性質(zhì) 方法1拋物線的定義及方程 1 求拋物線方程時 若由已知條件可知所求曲線是拋物線 一般用待定系數(shù)法 若由已知條件可知所求曲線的動點的軌跡 一般用軌跡法 2 待定系數(shù)法求拋物線方程時既要定位 即確定拋物線開口方向 又要定量 即確定參數(shù)p的值 解題關(guān)鍵是定位 最好結(jié)合圖形確定方程適合哪種形式 避免漏解 3 解決拋物線相關(guān)問題時 要善于用定義解題 即把 PF 轉(zhuǎn)化為點P到準線的距離 這種 化斜為直 的轉(zhuǎn)化方法非常有效 要注意領(lǐng)會和運用 例1 已知拋物線的頂點在原點 焦點在y軸上 拋物線上一點M m 3 到焦點的距離為5 求m的值 拋物線方程和準線方程 點評 如果問題中涉及拋物線的焦點和準線 又能與距離聯(lián)系起來 那么用拋物線定義就能解決問題 方法2與拋物線有關(guān)的綜合問題 1 涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結(jié)合圖形思考 通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點 對稱軸 開口方向等幾何特征 體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性 2 求參數(shù)范圍的方法有兩種 根據(jù)題目給出的已知條件列出一個關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式 將其代入由題目列出的不等式 即為消元 然后求解不等式 由題目條件和結(jié)論建立目標函數(shù) 進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域 點評 1 設(shè)拋物線方程為y2 2px p 0 直線Ax By C 0 將直線方程與拋物線方程聯(lián)立 消去x得到關(guān)于y的方程my2 ny q 0 1 若m 0 當 0時 直線與拋物線有兩個公共點 當 0時 直線與拋物線只有一個公共點 當 0時 直線與拋物線沒有公共點 2 若m 0 直線與拋物線只有一個公共點 此時直線與拋物線的對稱軸平行 2 研究直線與拋物線的位置關(guān)系與研究直線與橢圓 雙曲線的位置關(guān)系的方法類似 一般是聯(lián)立兩曲線方程 但涉及拋物線的弦長 中點 距離等問題時 要注意 設(shè)而不求 整體代入 點差法 以及定義的靈活應用