第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 知識點(diǎn)一等差數(shù)列的有關(guān)概念 1 等差數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起 每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于 那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列 這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差 通常用字母d表示 定義的表達(dá)式為 常數(shù) 同一個 an 1 an d A 1 如果等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)為a1 公差為d 那么通項(xiàng)公式為an 2 通項(xiàng)公式的推廣 an am n m d n m N 3 通項(xiàng)公式 a1 n 1 d n N 知識點(diǎn)二等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及性質(zhì) 1 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 2 等差數(shù)列的性質(zhì) 數(shù)列 an 是等差數(shù)列 Sn是其前n項(xiàng)和 則 1 若m n p q 則 特別地 若m n 2p 則am an 2ap 2 am am k am 2k am 3k 仍是等差數(shù)列 公差為kd 3 數(shù)列Sm S2m Sm S3m S2m 也是等差數(shù)列 am an ap aq 名師助學(xué) 1 本部分知識可以歸納為 1 三個定義 等差數(shù)列的定義 等差中項(xiàng)的定義 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 2 兩種方法 證明等差數(shù)列的兩種方法 定義法 等差中項(xiàng)法 方法1等差數(shù)列的基本量運(yùn)算 等差數(shù)列的基本運(yùn)算方法 1 等差數(shù)列可以由首項(xiàng)a1和公差d確定 所有關(guān)于等差數(shù)列的計(jì)算和證明 都可圍繞a1和d進(jìn)行 2 對于等差數(shù)列問題 如果給出兩個條件 就可以通過列方程 組 求出a1 d 如果再給出第三個條件 就可以完成an a1 d n Sn的 知三求二 問題 例1 等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和記為Sn 已知a10 30 a20 50 1 求通項(xiàng)an 2 若Sn 242 求n 解題指導(dǎo) 點(diǎn)評 利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式列方程組解a1和d 是解決等差數(shù)列問題的常用方法 方法2等差數(shù)列的判定與證明 1 證明一個數(shù)列 an 為等差數(shù)列的基本方法有兩種 1 利用等差數(shù)列的定義證明 即證明an 1 an d n N 2 利用等差中項(xiàng)證明 即證明an 2 an 2an 1 n N 2 解選擇題 填空題時 可用通項(xiàng)或前n項(xiàng)和直接判斷 1 通項(xiàng)法 若數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù) 即an An B 則 an 是等差數(shù)列 2 前n項(xiàng)和法 若數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn是Sn An2 Bn的形式 A B是常數(shù) 則 an 為等差數(shù)列 例2 2014 梅州調(diào)研 若數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且滿足an 解題指導(dǎo) 1 利用an Sn Sn 1 n 2 轉(zhuǎn)化為關(guān)于Sn與Sn 1的式子 同除Sn Sn 1 利用定義證明 得出結(jié)論 2 由 1 求 再求Sn 再代入條件an 2SnSn 1 求an 驗(yàn)證n 1的情況 得出結(jié)論 點(diǎn)評 解決an與Sn的關(guān)系式時 有兩種途徑 一是將an化為Sn 即an Sn Sn 1 二是將Sn化為an 根據(jù)題目的形式靈活應(yīng)用 方法3等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題的方法 例3 植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹 每人植一 棵 相鄰兩棵樹相距10米 開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊 使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小 這個最小值為 米 解析 2000 點(diǎn)評 每兩個樹坑間的距離都是10米 表示出每個樹坑與第i個樹坑間的距離 得出等差數(shù)列 然后求和 根據(jù)i的取值求出最小值